Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
E=\left[\begin{array}{lll}4 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
E = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\[6pt] 4 & 5 & 6 \\[6pt] 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é invertível usando operações elementares sobre linhas e, em caso afirmativo, encontrar E^{-1}. Para isso vamos montar a matriz aumentada \bigl[E\mid I_3\bigr] e reduzi-la à forma \bigl[I_3\mid E^{-1}\bigr].]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos três eliminações para triangularizar:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 0 \\[3pt] 7 & 8 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_2\to R_2-R_1}\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 \\[3pt] 7 & 8 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
\xrightarrow{R_3\to 4R_3-7R_1}\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 18 & 11 & -7 & 0 & 4 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_3\to R_3-6R_2}\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & -7 & -1 & -6 & 4 \end{array}\right].]

Passo 3

Agora escalonamos o pivô da terceira linha e eliminamos a coluna 3 acima dele:
R_3\to \frac{1}{-7}R_3,\quad R_i\to R_i - (a_{i3})\,R_3\\ (i=1,2) \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 4 & 2 & 0 & \tfrac{4}{7} & -\tfrac{18}{7} & \tfrac{12}{7} \\[6pt] 0 & 3 & 0 & -\tfrac{10}{7} & -\tfrac{11}{7} & \tfrac{12}{7} \\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{7} & \tfrac{6}{7} & -\tfrac{4}{7} \end{array}\right].]

Passo 4

Fazemos a mesma coisa na segunda coluna e depois na primeira:
R_2\to \tfrac13R_2,\quad R_1\to R_1-2R_2,\quad R_1\to \tfrac14R_1 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{8}{21} & -\tfrac{8}{21} & \tfrac{1}{7} \\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{10}{21} & -\tfrac{11}{21} & \tfrac{4}{7} \\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{7} & \tfrac{6}{7} & -\tfrac{4}{7} \end{array}\right].
Como o lado esquerdo virou I_3, a matriz é invertível e o lado direito é E^{-1}.]

Resposta

A matriz E é invertível e
E^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{8}{21} & -\frac{8}{21} & \frac{1}{7} \\[6pt] -\frac{10}{21} & -\frac{11}{21} & \frac{4}{7} \\[6pt] \frac{1}{7} & \frac{6}{7} & -\frac{4}{7} \end{pmatrix}.]

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