Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
2.
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Passo 1
O problema pede, via Princípio Máximo de Pontryagin, minimizar
sujeito ao sistema de segunda ordem
É um problema de controle ótimo do tipo LQ (quadrático em
), com instante final fixo
e sem condições finais em
. Vamos converter para forma de ordem um e aplicar Pontryagin.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
de modo que
O Hamiltoniano de Pontryagin é
onde
e
são os coestados associados a
e
.
Passo 3
Pela condição de ótimalidade interna temos
As equações de adjunto são
Como não há restrições em
, as condições transversais indicam
Passo 4
O sistema de adjunto pode ser escrito como
cuja solução geral é
Impondo
e
e usando
,
, obtemos
Logo
para todo
.
Passo 5
Com
segue da lei de controle
Substituindo em
e usando
,
, a solução ótima é
Resposta
O controle ótimo é
e a trajetória ótima é