Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
2.
\begin{array}{r} \min \mathcal{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u^{2} d t \\\ \ddot{x}+x=u, x(0)=1, \dot{x}(0)=0 \end{array}

Passo 1

O problema pede, via Princípio Máximo de Pontryagin, minimizar
\mathcal{I} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u^{2}\,dt
sujeito ao sistema de segunda ordem
\ddot x + x = u,\quad x(0)=1,\;\dot x(0)=0
É um problema de controle ótimo do tipo LQ (quadrático em u), com instante final fixo T=\pi/2 e sem condições finais em x. Vamos converter para forma de ordem um e aplicar Pontryagin.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}=x,\quad x_{2}=\dot x
de modo que
\dot x_{1}=x_{2},\quad \dot x_{2}=u - x_{1}.
O Hamiltoniano de Pontryagin é
H = u^{2} + p_{1}\,x_{2} + p_{2}\,(u - x_{1}),
onde p_{1}(t) e p_{2}(t) são os coestados associados a x_{1} e x_{2}.

Passo 3

Pela condição de ótimalidade interna temos
\frac{\partial H}{\partial u}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2\,u + p_{2}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; u^{*}(t) = -\frac{p_{2}(t)}{2}.
As equações de adjunto são
\dot p_{1} = -\frac{\partial H}{\partial x_{1}} = p_{2}, \qquad \dot p_{2} = -\frac{\partial H}{\partial x_{2}} = -p_{1}.
Como não há restrições em x(\tfrac{\pi}{2}), as condições transversais indicam
p_{1}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, \quad p_{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

O sistema de adjunto pode ser escrito como
\ddot p_{1} + p_{1} = 0,
cuja solução geral é
p_{1}(t) = A\cos t + B\sin t, \quad p_{2}(t) = \dot p_{1}(t) = -A\sin t + B\cos t.
Impondo p_{1}(\tfrac{\pi}{2})=0 e p_{2}(\tfrac{\pi}{2})=0 e usando \cos\!\tfrac{\pi}{2}=0, \sin\!\tfrac{\pi}{2}=1, obtemos
B=0, \quad -A=0 \;\;\Longrightarrow\;\; A=B=0.
Logo p_{1}(t)=p_{2}(t)=0 para todo t.

Passo 5

Com p_{2}(t)\equiv0 segue da lei de controle
u^{*}(t)= -\frac{p_{2}(t)}{2} = 0.
Substituindo em \ddot x + x =0 e usando x(0)=1, \dot x(0)=0, a solução ótima é
x(t)=\cos t, \quad \dot x(t)=-\sin t.

Resposta

O controle ótimo é
u^{*}(t)=0,
e a trajetória ótima é
x(t)=\cos t,\quad \dot x(t)=-\sin t,\quad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

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