Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
3.
3.
Passo 1
O problema pede minimizar
sujeito à dinâmica de segunda ordem
com condições de contorno
O conteúdo usado será o Princípio do Máximo de Pontryagin aplicado a um sistema linear-quadático.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
de modo que
O Hamiltoniano (com sinal de custo negativo) é
As equações de estado e adjuntas são
Como
e
são livres, impõe-se
Passo 3
A condição de otimalidade
dá
Passo 4
Das equações adjuntas temos
Logo
As condições transversais
e
levam a
.
Assim e, pelo passo anterior,
Assim
Passo 5
Com
a dinâmica fica
A solução geral é
. De
vem
. De
vem
.
Portanto
Portanto
Resposta
O controle ótimo é
e a trajetória ótima satisfaz