Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
3.
\begin{array}{r} \min \mathcal{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u^{2} d t \\\ \ddot{x}+x=u, x(0)=0, x\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{array}

Passo 1

O problema pede minimizar
\mathcal{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}u(t)^{2}\,dt
sujeito à dinâmica de segunda ordem
\ddot x(t)+x(t)=u(t),
com condições de contorno
x(0)=0, \quad x\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
O conteúdo usado será o Princípio do Máximo de Pontryagin aplicado a um sistema linear-quadático.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}=x,\qquad x_{2}=\dot x,
de modo que
\dot x_{1}=x_{2},\qquad \dot x_{2}=u - x_{1}.
O Hamiltoniano (com sinal de custo negativo) é
H = p_{1}x_{2} + p_{2}(u - x_{1}) \;-\; u^{2}.
As equações de estado e adjuntas são
\dot x_{1}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}=x_{2}, \quad \dot x_{2}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}=u - x_{1},
\dot p_{1}=-\frac{\partial H}{\partial x_{1}}=p_{2}, \quad \dot p_{2}=-\frac{\partial H}{\partial x_{2}}=-p_{1}.
Como \dot x_{2}(0) e \dot x_{2}(\pi/2) são livres, impõe-se
p_{2}(0)=0, \quad p_{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 3

A condição de otimalidade \partial H/\partial u=0
p_{2} - 2\,u = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = \tfrac{1}{2}\,p_{2}.

Passo 4

Das equações adjuntas temos
\dot p_{1}=p_{2}, \quad \dot p_{2}=-p_{1} \;\Longrightarrow\; \ddot p_{2} + p_{2}=0.
Logo
p_{2}(t)=A\sin t + B\cos t.
As condições transversais p_{2}(0)=B=0 e p_{2}(\pi/2)=A\cdot1+0=0 levam a A=B=0.
Assim p_{2}(t)\equiv0 e, pelo passo anterior,
u^{*}(t)=0.

Passo 5

Com u\equiv0 a dinâmica fica
\ddot x + x=0, \quad x(0)=0, \quad x\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
A solução geral é x=C\sin t + D\cos t. De x(0)=0 vem D=0. De x(\pi/2)=1 vem C=1.
Portanto
x^{*}(t)=\sin t, \quad \dot x^{*}(t)=\cos t.

Resposta

O controle ótimo é
u^{*}(t)=0,
e a trajetória ótima satisfaz
x^{*}(t)=\sin t, \qquad \dot x^{*}(t)=\cos t.

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