Usando o processo de mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{3}\right)^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{3}\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=1.

Passo 2

Ideia de mudança de variáveis (substituição): observar que dentro da função composta aparece 1+x^{3} e que a derivada de x^{3} é 3x^{2}, que é muito parecida com o fator x^{2} que multiplica. Isso sugere a substituição
u = 1+x^{3}.
Explicando a regra: se escolhermos u=g(x), então du = g'(x)\,dx. A substituição troca a variável de x para u e transforma dx em \dfrac{du}{g'(x)}; nos integrais definidos substituímos também os limites usando u(a)=g(a) e u(b)=g(b).

Passo 3

Calcular du e reescrever o integrando:
u = 1+x^{3}\quad\Rightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx.
Então
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Trocar os limites de integração: quando x=0, u=1+0^{3}=1. Quando x=1, u=1+1^{3}=2. Substituindo tudo na integral,
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{-2}\,du.

Passo 4

Integrar \int u^{-2}\,du: usar a fórmula básica de primitiva para potências,
\text{se } \alpha\neq -1,\quad \int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aqui \alpha=-2, logo
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1} = -\frac{1}{u}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites e fazer a conta passo a passo:
\left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3},
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6}.
Portanto a integral vale \dfrac{1}{6}.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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