Um tubo de vapor, com raio externo
, está recoberto por uma camada de isolamento de amianto de espessura
, condutividade térmica
recoberto por sua vez, com um isolamento de fibra de vidro de espessura
e condutividade térmica
. A superfície do tubo está à temperatura de
e a superfície externa do isolamento de fibra de vidor está a
.
a.) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro.
b.) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.
a.) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro.
b.) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Raio externo do tubo:
. - Espessura da camada de amianto:
. - Condutividade térmica do amianto:
. - Espessura da camada de fibra de vidro:
. - Condutividade térmica da fibra de vidro:
. - Temperatura da superfície do tubo (superfície interna do isolamento):
. - Temperatura da superfície externa do isolamento:
.
- Raio externo do tubo:
-
O que o enunciado pede:
a) Determinar a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro (ou seja, a temperatura na superfície externa do amianto / interna da fibra de vidro).
b) Determinar a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo (ou seja,fluxo térmico linear em ).
Passo 2
Qual é o modelo físico e a fórmula que vamos usar? Aqui explico a teoria de forma didática e passo a passo.
-
Situação física: temos condução de calor em regime estacionário, radial, através de camadas coaxiais cilíndricas (tubo → amianto → fibra). Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa qualquer círculo coaxial é a mesma (não há acumulação de energia).
-
Começamos pela lei de Fourier para condução na direção radial em coordenadas cilíndricas. Para uma casca cilíndrica de comprimento
e raio , a área de transferência normal ao fluxo é A forma diferencial da lei de Fourier (fluxo radial) éEm regime estacionárioé constante (não depende de ). Podemos isolar e integrar: Integrando entre(temperatura ) e (temperatura ):
Rearranjando:
-
Para a taxa por unidade de comprimento (por metro), define-se
. Tomando , -
Também é útil a analogia elétrica: cada camada cilíndrica tem uma resistência térmicaEm série, resistências somam. Para comprimento
usamos e a taxa por metro fica
Explicação curta: usamos essa fórmula porque o fluxo radial em cilindros varia com
, e a integração dá o ln; a resistência térmica cilíndrica é análoga à resistência elétrica e facilita calcular quedas de temperatura por camada.
Passo 3
Converter unidades e calcular os raios das superfícies envolvidas.
- Converter cm para m:
-
Raios das interfaces:
- Raio externo da camada de amianto (que é também raio interno da fibra):
- Raio externo do isolamento de fibra:
- Raio externo da camada de amianto (que é também raio interno da fibra):
-
Temperaturas conhecidas:
Passo 4
Calcular as resistências térmicas por metro de comprimento de cada camada (usar
).
- Resistência do amianto (camada entre
e ): Substituindo números:
- Resistência da fibra de vidro (camada entre
e ): Substituindo números:
- Resistência total por metro:
Observação didática: a unidade
é a resistência térmica por metro; mais diretamente usamos
quando incluímos o comprimento, mas trabalhando por metro simplifica.
Passo 5
Calcular a taxa de transferência de calor por metro de comprimento (
) usando a diferença de temperatura total dividida pela resistência total.
- Fórmula:
Substituindo:
Breve interpretação: cerca de
de calor atravessam cada metro do tubo em direção ao ambiente, devido à diferença de
e às resistências das camadas.
Passo 6
Calcular a temperatura da interface entre as camadas (temperatura na superfície externa do amianto / interna da fibra).
- Queda de temperatura através da camada de amianto é
. Então Substituindo valores:
- Verificação (checar com a outra camada): temperatura na interface também pode ser obtida por
Pequena diferença de arredondamento entre os dois caminhos é normal; ambos dão cerca de .