Um tubo de vapor, com raio externo r_{1}=4 \mathrm{~cm}, está recoberto por uma camada de isolamento de amianto de espessura L_{1}=1 \mathrm{~cm}, condutividade térmica k_{1}=0,15 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) recoberto por sua vez, com um isolamento de fibra de vidro de espessura L_{3}=3 \mathrm{~cm} e condutividade térmica k_{2}=0,043 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). A superfície do tubo está à temperatura de 330^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa do isolamento de fibra de vidor está a 30^{\circ} \mathrm{C}.
a.) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro.
b.) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Raio externo do tubo: r_{1}=4\\ \text{cm}.
    • Espessura da camada de amianto: L_{1}=1\\ \text{cm}.
    • Condutividade térmica do amianto: k_{1}=0{,}15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
    • Espessura da camada de fibra de vidro: L_{3}=3\\ \text{cm}.
    • Condutividade térmica da fibra de vidro: k_{2}=0{,}043\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
    • Temperatura da superfície do tubo (superfície interna do isolamento): T_{\mathrm{tubo}}=330^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da superfície externa do isolamento: T_{\mathrm{ext}}=30^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro (ou seja, a temperatura na superfície externa do amianto / interna da fibra de vidro).
    b) Determinar a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo (ou seja, fluxo térmico linear \dot{Q}' em \mathrm{W}/\mathrm{m}).

Passo 2

Qual é o modelo físico e a fórmula que vamos usar? Aqui explico a teoria de forma didática e passo a passo.
  • Situação física: temos condução de calor em regime estacionário, radial, através de camadas coaxiais cilíndricas (tubo → amianto → fibra). Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa qualquer círculo coaxial é a mesma (não há acumulação de energia).
  • Começamos pela lei de Fourier para condução na direção radial em coordenadas cilíndricas. Para uma casca cilíndrica de comprimento L e raio r, a área de transferência normal ao fluxo é
    A(r)=2\pi r L.
    A forma diferencial da lei de Fourier (fluxo radial) é
    \dot{Q} = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr} = -k\,(2\pi r L)\,\frac{dT}{dr}.
    Em regime estacionário \dot{Q} é constante (não depende de r). Podemos isolar e integrar:
    \frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{2\pi k L}\cdot\frac{1}{r}.
    Integrando entre r=r_{\mathrm{in}} (temperatura T_{\mathrm{in}}) e r=r_{\mathrm{out}} (temperatura T_{\mathrm{out}}):
    \int_{T_{\mathrm{in}}}^{T_{\mathrm{out}}} dT = -\frac{\dot{Q}}{2\pi k L}\int_{r_{\mathrm{in}}}^{r_{\mathrm{out}}}\frac{dr}{r}
T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}} = -\frac{\dot{Q}}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_{\mathrm{out}}}{r_{\mathrm{in}}}\right).
Rearranjando:
\dot{Q} = \frac{2\pi k L\,(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})}{\ln\!\left(\dfrac{r_{\mathrm{out}}}{r_{\mathrm{in}}}\right)}.
  • Para a taxa por unidade de comprimento (por metro), define-se \dot{Q}'=\dot{Q}/L. Tomando L=1\\ \mathrm{m},
    \dot{Q}' = \frac{2\pi k\,(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})}{\ln\!\left(\dfrac{r_{\mathrm{out}}}{r_{\mathrm{in}}}\right)}.
  • Também é útil a analogia elétrica: cada camada cilíndrica tem uma resistência térmica
    R_{\text{cil}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\mathrm{out}}}{r_{\mathrm{in}}}\right)}{2\pi k L}.
    Em série, resistências somam. Para comprimento L=1\\ \mathrm{m} usamos
    R'=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\mathrm{out}}}{r_{\mathrm{in}}}\right)}{2\pi k}
    e a taxa por metro fica
    \dot{Q}'=\frac{T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}}}{R'_1+R'_2}.
Explicação curta: usamos essa fórmula porque o fluxo radial em cilindros varia com 1/r, e a integração dá o ln; a resistência térmica cilíndrica é análoga à resistência elétrica e facilita calcular quedas de temperatura por camada.

Passo 3

Converter unidades e calcular os raios das superfícies envolvidas.
  • Converter cm para m: r_{1}=4\\ \text{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
L_{1}=1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
L_{3}=3\\ \text{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Raios das interfaces:
    • Raio externo da camada de amianto (que é também raio interno da fibra): r_{2}=r_{1}+L_{1}=0{,}04+0{,}01=0{,}05\\ \mathrm{m}.
    • Raio externo do isolamento de fibra: r_{3}=r_{2}+L_{3}=0{,}05+0{,}03=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas conhecidas:
    T_{\mathrm{in}}=T_{\mathrm{tubo}}=330^\circ\mathrm{C},\qquad T_{\mathrm{out}}=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular as resistências térmicas por metro de comprimento de cada camada (usar L=1\\ \mathrm{m}).
  • Resistência do amianto (camada entre r_{1} e r_{2}): R'_1=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_{1}}.Substituindo números: \ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0{,}05}{0{,}04}\right)=\ln(1{,}25)=0{,}2231435513\ldots
2\pi k_{1}=2\pi\cdot 0{,}15 = 0{,}9424777961\ldots
R'_1=\frac{0{,}2231435513}{0{,}9424777961}=0{,}23698\\ \mathrm{K}\,/(\mathrm{W/m}).
  • Resistência da fibra de vidro (camada entre r_{2} e r_{3}): R'_2=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{3}}{r_{2}}\right)}{2\pi k_{2}}.Substituindo números: \ln\!\left(\dfrac{r_{3}}{r_{2}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0{,}08}{0{,}05}\right)=\ln(1{,}6)=0{,}4700036292\ldots
2\pi k_{2}=2\pi\cdot 0{,}043 = 0{,}2700878094\ldots
R'_2=\frac{0{,}4700036292}{0{,}2700878094}=1{,}74072\\ \mathrm{K}\,/(\mathrm{W/m}).
  • Resistência total por metro: R'_{\text{tot}}=R'_1+R'_2=0{,}23698+1{,}74072=1{,}97770\\ \mathrm{K}\,/(\mathrm{W/m}).
Observação didática: a unidade \mathrm{K}/(\mathrm{W/m}) é a resistência térmica por metro; mais diretamente usamos \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W} quando incluímos o comprimento, mas trabalhando por metro simplifica.

Passo 5

Calcular a taxa de transferência de calor por metro de comprimento ( \dot{Q}') usando a diferença de temperatura total dividida pela resistência total.
  • Fórmula: \dot{Q}'=\frac{T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}}}{R'_{\text{tot}}}.Substituindo: \dot{Q}'=\frac{330-30}{1{,}97770}=\frac{300}{1{,}97770}=151{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Breve interpretação: cerca de 151{,}7\\ \mathrm{W} de calor atravessam cada metro do tubo em direção ao ambiente, devido à diferença de 300^\circ\mathrm{C} e às resistências das camadas.

Passo 6

Calcular a temperatura da interface entre as camadas (temperatura na superfície externa do amianto / interna da fibra).
  • Queda de temperatura através da camada de amianto é \Delta T_1=\dot{Q}'\cdot R'_1. Então T_{\text{interface}}=T_{\mathrm{in}}-\Delta T_1 = T_{\mathrm{in}}-\dot{Q}'R'_1.Substituindo valores: \Delta T_1 = 151{,}7\times 0{,}23698 \approx 35{,}7\\ \mathrm{K}.
T_{\text{interface}} = 330 - 35{,}7 \approx 294{,}3^\circ\mathrm{C}.
  • Verificação (checar com a outra camada): temperatura na interface também pode ser obtida por T_{\text{interface}}=T_{\mathrm{out}}+\dot{Q}'R'_2 = 30 + 151{,}7\times 1{,}74072 \approx 30 + 264{,}0 \approx 294{,}0^\circ\mathrm{C}.Pequena diferença de arredondamento entre os dois caminhos é normal; ambos dão cerca de 294^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{\text{interface}}\approx 294{,}0^\circ\mathrm{C}
\dot{Q}'\approx 151{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}

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