- Usando as propriedades algébricas dos números complexos e a definição da transformada de Laplace, mostre que
Em particular, para
devemos ter
Conclua, usando à fórmula de Euler
e a linearidade que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição da transformada de Laplace e propriedades de números complexos, que
Em seguida, para
, obter
e então, usando a fórmula de Euler
e a linearidade da transformada, extrair as fórmulas
e
.
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace, para uma função
temos
desde que a integral convirja (isto exige
grande o suficiente).
Passo 3
Aplique essa definição a
. Então
Passo 4
A integral do tipo
vale
se
. Aqui
, portanto a condição de convergência é
, ou seja,
. Logo,
Passo 5
Basta agora racionalizar o denominador:
Portanto concluímos
Passo 6
Em particular, para
temos
Passo 7
Pela fórmula de Euler,
, e pela linearidade da transformada,
Como acabamos de mostrar que
,
basta igualar partes real e imaginária para obter
basta igualar partes real e imaginária para obter