Usando as propriedades da “função” delta de Dirac, mostre a relação de ParsevalPlancherel
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a relação de Parseval–Plancherel entre a densidade de probabilidade no espaço de posição e no espaço de momento, ou seja, provar que
Para isso vamos usar transformadas de Fourier e a propriedade da função delta de Dirac.
Passo 2
A transformada de Fourier de
e sua inversa são dadas por:
Passo 3
Começamos pelo lado esquerdo:
Substituindo a expressão inversa para
e seu conjugado, trocando a ordem de integrais, obtemos
Passo 4
Usamos agora a propriedade
que colapsa a integral dupla em
. Substituindo de volta:
Pronto: chegamos exatamente ao lado direito desejado.
Resposta
$$\n\int_{-\infty}{+\infty}|\psi(\vec{r},0)|{2},d^{3}r = \int_{-\infty}{+\infty}|\bar{\psi}(\vec{p})|{2},d^{3}p.
$$