Usando as propriedades da “função” delta de Dirac, mostre a relação de ParsevalPlancherel
integral-infty^+infty|psi(r, 0)|^2 d^3 r=integral-infty^+infty|barpsi(p)|^2 d^3 p

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a relação de Parseval–Plancherel entre a densidade de probabilidade no espaço de posição e no espaço de momento, ou seja, provar que
integral-infty^+infty|psi(r,0)|^2,d^3r = integral-infty^+infty|barpsi(p)|^2,d^3p
Para isso vamos usar transformadas de Fourier e a propriedade da função delta de Dirac.

Passo 2

A transformada de Fourier de psi(r,0) e sua inversa são dadas por:
barpsi(p) = 1(2pihbar)^3/2integral e^-tfracihbarpcdotr,psi(r,0),d^3r,
psi(r,0) = 1(2pihbar)^3/2integral e^tfracihbarpcdotr,barpsi(p),d^3p

Passo 3

Começamos pelo lado esquerdo:
integral d^3r,|psi(r,0)|^2 = integral d^3r,psi^*(r,0),psi(r,0)
Substituindo a expressão inversa para psi e seu conjugado, trocando a ordem de integrais, obtemos
integral d^3r,|psi|^2 = 1(2pihbar)^3 integral d^3r integral d^3p integral d^3p'; e^tfracihbar(p-p')cdotr;barpsi(p),barpsi^*(p')

Passo 4

Usamos agora a propriedade
integral d^3r;e^tfracihbar(p-p')cdotr = (2pihbar)^3,de
que colapsa a integral dupla em p'. Substituindo de volta:
1(2pihbar)^3integral d^3p,d^3p',(2pihbar)^3,de
Pronto: chegamos exatamente ao lado direito desejado.

Resposta

$$\n\int_{-\infty}{+\infty}|\psi(\vec{r},0)|{2},d^{3}r = \int_{-\infty}{+\infty}|\bar{\psi}(\vec{p})|{2},d^{3}p.
$$

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