Considere uma partícula cujo operador H é
H=-hbar^22 m d^2d x^2-alpha de
onde alpha é uma constante positiva cujas dimensões devem ser encontradas
a) Integre a equação de autovalor para H entre -epsilon e+epsilon. Fazendo epsilon tender a zero, mostre que a derivada da autofunção varphi(x) apresenta uma descontinuidade em x=0 e determine em termos de alpha, m e varphi(0)
b) Assuma que a energia E da partícula é negativa (estado ligado). varphi(x) pode então ser escrita como
& varphi(x)=A1 e^rho x+A1^prime e^-rho x, , x<0
Escreva a constante rho em termos de E e m. Usando os resultados do ítem a), calcule a matriz M definida por
binomA2A2^prime=MbinomA1A1^prime
Então, usando a condição de que varphi(x) deve ser de quadrado integrável, encontre os possíveis valores da energia. Calcule as funções de onda normalizadas correspondentes

Passo 1

A questão trata de uma partícula unidimensional sujeita a um potencial delta em x=0, com Hamiltoniano H=-hbar^22md^2dx^2-alphade. Vamos precisar de teoria de distribuições para gerar a condição de contorno na derivada da função de onda e depois resolver o caso ligado (energia negativa).

Passo 2

Para que o termo alphade tenha dimensão de energia, lembramos que [de. Logo ([\alpha]=[E],[L]=M,L3,T{-2}.

Passo 3

Começamos integrando a equação de autovalor Hvarphi=Evarphi de -varepsilon a +varepsilon:
-hbar^22mintegral-varepsilon^+varepsilonvarphi''(x),dx-alphaintegral-varepsilon^+varepsilonde
No limite varepsilonto0 o termo de energia desaparece, e fica
-hbar^22m[varphi'(+0)-varphi'(-0)]-alphavarphi(0)=0

Passo 4

Dessa relação isolamos a descontinuidade da derivada:
varphi'(+0)-varphi'(-0)=-2malphahbar^2,varphi(0)

Passo 5

Para o estado ligado assume-se E<0 e define-se
rho=raiz-2mEhbar>0
As soluções gerais são
(
\varphi(x)= A1e^rho x+A1'e^-rho x,&x<0, A2e^rho x+A2'e^-rho x,&x>0
]

Passo 6

Impondo continuidade varphi(-0)=varphi(+0) e salto da derivada acima, obtemos o sistema linear que relaciona (A2,A2') a (A1,A1'). Resolvendo, chega-se à matriz
M=1-dfracmalphahbar^2rho&-dfracmalphahbar^2rho[6pt] dfracmalphahbar^2rho&1+dfracmalphahbar^2rho
que satisfaz

Passo 7

Agora exigimos integrabilidade: para x<0 não pode divergir em -infty, logo A1'=0; para x>0 não pode divergir em +infty, logo A2=0. Do primeiro elemento de M vem
0=A2=(1-tfracmalphahbar^2rho)A1 Rightarrow 1-malphahbar^2rho=0
ou seja
rho=malphahbar^2Longrightarrow E=-hbar^2rho^22m=-malpha^22hbar^2

Passo 8

Por fim, a função de onda normalizada fica

com .

Resposta

[α]=M L^3 T^{-2}, salto de derivada varphi'(+0)-varphi'(-0)=-2malphahbar^2varphi(0). A matriz de coeficientes é
M=1-dfracmalphahbar^2rho&-dfracmalphahbar^2rho[6pt] dfracmalphahbar^2rho&1+dfracmalphahbar^2rho,
com rho=raiz-2mE/hbar. Há um único estado ligado de energia
E=-malpha^22hbar^2,
e função de onda normalizada
varphi(x)=raizmalphahbar^2,e^-malphahbar^2|x|

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