onde é uma constante positiva cujas dimensões devem ser encontradas
a) Integre a equação de autovalor para entre . Fazendo tender a zero, mostre que a derivada da autofunção apresenta uma descontinuidade em e determine em termos de e
b) Assuma que a energia da partícula é negativa (estado ligado). pode então ser escrita como
Escreva a constante em termos de e . Usando os resultados do ítem a), calcule a matriz definida por
Então, usando a condição de que deve ser de quadrado integrável, encontre os possíveis valores da energia. Calcule as funções de onda normalizadas correspondentes
Passo 1
A questão trata de uma partícula unidimensional sujeita a um potencial delta em x=0, com Hamiltoniano . Vamos precisar de teoria de distribuições para gerar a condição de contorno na derivada da função de onda e depois resolver o caso ligado (energia negativa).
Passo 2
Para que o termo tenha dimensão de energia, lembramos que . Logo ([\alpha]=[E],[L]=M,L3,T{-2}.
Passo 3
Começamos integrando a equação de autovalor de a :
No limite o termo de energia desaparece, e fica
Passo 4
Dessa relação isolamos a descontinuidade da derivada:
Passo 5
Para o estado ligado assume-se e define-se
As soluções gerais são
(
\varphi(x)=
]
Passo 6
Impondo continuidade e salto da derivada acima, obtemos o sistema linear que relaciona a . Resolvendo, chega-se à matriz
que satisfaz
Passo 7
Agora exigimos integrabilidade: para x<0 não pode divergir em -infty, logo A1'=0; para x>0 não pode divergir em +infty, logo A2=0. Do primeiro elemento de M vem