Usando qualquer teste visto em sala de aula, determine se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} 4^{-2 k+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{k=1}^{\infty}4^{-2k+1}
Esse é um problema de critério de convergência de séries numéricas. Vamos reconhecer que essa é uma série geométrica e aplicar o teste para séries geométricas.

Passo 2

Escrevemos o termo geral de forma a identificar a razão. Para k\ge1:
4^{-2k+1} = 4^{1}\cdot 4^{-2k} = 4\cdot\bigl(4^{-2}\bigr)^{k} =4\cdot\Bigl(\tfrac1{16}\Bigr)^{k}.
Ou seja, a série é
\sum_{k=1}^{\infty}4\Bigl(\tfrac1{16}\Bigr)^{k},
uma série geométrica de primeiro termo
\displaystyle a_1=4\bigl(\tfrac1{16}\bigr)^1=\tfrac14
e razão
\displaystyle r=\tfrac1{16}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert=\tfrac1{16}<1, a série geométrica converge. Podemos até calcular sua soma:
S=\frac{a_1}{1-r} =\frac{\tfrac14}{1-\tfrac1{16}} =\frac{\tfrac14}{\tfrac{15}{16}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{15} =\frac{4}{15}.

Resposta

A série é convergente (converge para \tfrac{4}{15}).

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