Usando a Série de Taylor/Maclaurin encontre:
o valor de e.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o número de Euler e usando a série de Maclaurin. O conteúdo principal é a expansão em série de potências de e^x em torno de x=0, e em seguida avaliá-la em x=1.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^x é dada por
e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}.
Aqui usamos a definição de série de Taylor em torno de zero, lembrando que todas as derivadas de e^x em zero valem 1.

Passo 3

Para obter e, basta tomar x=1 na série anterior, o que dá
e = e^1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}.

Passo 4

Para uma aproximação numérica, calculamos a soma parcial até certo n. Por exemplo, até k=5:
\sum_{k=0}^{5} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{24} + \tfrac{1}{120} = 2{,}716666\ldots
Indo até k=8 já temos
\sum_{k=0}^{8} \frac{1}{k!} \approx 2{,}718278\ldots
e quanto maior n, mais próxima de 2{,}718281828 fica a soma.

Resposta

e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \approx 2{,}718281828\ldots

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