Usando o ramo principal do logaritmo complexo, calcule:
i^{i}

Passo 1

O enunciado pede calcular i^i usando o ramo principal do logaritmo complexo. Vamos usar a definição da potência na forma
z^w = e^{w\,\Log(z)}
e o logaritmo principal
\Log(z) = \ln\bigl|z\bigr| + i\,\Arg(z),
onde \Arg(z) está em (-\pi,\pi].

Passo 2

No caso de z=i, temos \bigl|i\bigr|=1 e \Arg(i)=\pi/2. Logo,
\Log(i) = \ln(1) + i\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo em i^i = e^{\,i\,\Log(i)}, obtemos
i^i = \exp\Bigl(i \cdot i\frac{\pi}{2}\Bigr) = \exp\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr).

Resposta

e^{-\pi/2}

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