Usando o ramo principal do logaritmo complexo, calcule:
\sqrt[i]{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sqrt[i]{i} usando o ramo principal do logaritmo complexo. Vamos lembrar que, em geral, para a\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0] e b\in\mathbb{C}, definimos
a^{b} = \exp\bigl(b\,\Log(a)\bigr),
onde \Log é o logaritmo principal.

Passo 2

Reescrevendo a raiz, temos
\sqrt[i]{i} \;=\; i^{1/i} \;=\; \exp\!\Bigl(\tfrac{1}{i}\,\Log(i)\Bigr).

Passo 3

No ramo principal,
\Log(i) = \ln|i| + i\,\Arg(i).
Como |i|=1 e \Arg(i)=\tfrac{\pi}{2}, obtemos
\Log(i) = \ln(1) + i\,\frac{\pi}{2} = i\,\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Calculamos agora \tfrac{1}{i} e o produto:
\frac{1}{i} = -\,i, \qquad \frac{1}{i}\,\Log(i) = -i\;\cdot\;i\,\frac{\pi}{2} = -\,i^{2}\,\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituindo de volta em i^{1/i}=\exp\bigl(\tfrac{1}{i}\Log(i)\bigr), fica
\sqrt[i]{i} = \exp\!\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr) = e^{\frac{\pi}{2}}.

Resposta

e^{\frac{\pi}{2}}

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