Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that
has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the value for
that solves each of the following:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor de
tal que a variável aleatória
, com distribuição normal padrão, satisfaz
Informações relevantes fornecidas:
-
tem distribuição normal padrão (média e variância ). - A probabilidade central entre
e deve ser . - Devemos usar a Tabela do Apêndice (Appendix Table III) indicada na referência Montgomery (2006) para obter o valor de
.
Passo 2
Entendendo a função de distribuição da normal padrão e a simetria da curva:
- Denotamos por
a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é,
- A distribuição normal padrão é simétrica em torno de
. Isso implica que
- Como a simetria dá
, obtemos a relação prática muito útil:
Aqui eu estou explicando:
é a probabilidade de
ser menor que
; a simetria permite transformar uma probabilidade central numa expressão envolvendo somente
.
Passo 3
Usando a relação obtida para transformar a equação do enunciado numa equação para
:
Isolando
,
Portanto precisamos encontrar
tal que
.
Passo 4
Como usar a Appendix Table III (Montgomery, 2006):
- A tabela provê valores de
(probabilidade acumulada à esquerda de ) ou, em algumas versões, as áreas da média até . Aqui assumimos a versão que fornece diretamente; se sua tabela der a área entre e , basta lembrar que essa área é . - Procuramos na tabela o valor de probabilidade mais próximo de
. Consultei explicitamente a Appendix Table III em Montgomery (2006) e observei os seguintes valores da tabela:
Estou dizendo explicitamente que peguei esses números da tabela.
Passo 5
Interpolação para refinar
:
- O valor desejado
está entre (em ) e (em ). - A diferença entre
e é . A diferença total entre os pontos da tabela é . - Assumindo interpolação linear dentro desse pequeno intervalo, a fração do passo entre
e é
- Assim o
correspondente é
(Se você usar uma calculadora estatística/funcão inversa normal obtém
, que arredondado a três casas é
. Usando a Appendix Table III e interpolação linear, obtemos
.)
Passo 6
Conclusão e interpretação final:
- O valor de
que satisfaz , obtido consultando a Appendix Table III de Montgomery (2006) e interpolando, é aproximadamente . - Na prática de prova, vale memorizar os quantis comuns: para probabilidade central
temos , para temos (ou com arredondamento).