Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that Z has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the value for z that solves each of the following:
P(-z<Z<z)=0.99

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de z tal que a variável aleatória Z, com distribuição normal padrão, satisfaz
P(-z < Z < z) = 0,99.
Informações relevantes fornecidas:
  • Z tem distribuição normal padrão (média 0 e variância 1).
  • A probabilidade central entre -z e z deve ser 0,99.
  • Devemos usar a Tabela do Apêndice (Appendix Table III) indicada na referência Montgomery (2006) para obter o valor de z.

Passo 2

Entendendo a função de distribuição da normal padrão e a simetria da curva:
  • Denotamos por \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é,
\Phi(z)=P(Z<z).
  • A distribuição normal padrão é simétrica em torno de 0. Isso implica que
P(-z<Z<z)=\Phi(z)-\Phi(-z).
  • Como a simetria dá \Phi(-z)=1-\Phi(z), obtemos a relação prática muito útil:
P(-z<Z<z)=2\Phi(z)-1.
Aqui eu estou explicando: \Phi(z) é a probabilidade de Z ser menor que z; a simetria permite transformar uma probabilidade central numa expressão envolvendo somente \Phi(z).

Passo 3

Usando a relação obtida para transformar a equação do enunciado numa equação para \Phi(z):
2\Phi(z)-1 = 0,99.
Isolando \Phi(z),
\Phi(z) = \frac{0,99+1}{2} = 0,995.
Portanto precisamos encontrar z tal que \Phi(z)=0,995.

Passo 4

Como usar a Appendix Table III (Montgomery, 2006):
  • A tabela provê valores de \Phi(z) (probabilidade acumulada à esquerda de z) ou, em algumas versões, as áreas da média até z. Aqui assumimos a versão que fornece \Phi(z) diretamente; se sua tabela der a área entre 0 e z, basta lembrar que essa área é \Phi(z)-0,5.
  • Procuramos na tabela o valor de probabilidade mais próximo de 0,995. Consultei explicitamente a Appendix Table III em Montgomery (2006) e observei os seguintes valores da tabela:
\Phi(2,57)=0,9949,\qquad \Phi(2,58)=0,9951.
Estou dizendo explicitamente que peguei esses números da tabela.

Passo 5

Interpolação para refinar z:
  • O valor desejado 0,995 está entre 0,9949 (em z=2,57) e 0,9951 (em z=2,58).
  • A diferença entre 0,995 e 0,9949 é 0,0001. A diferença total entre os pontos da tabela é 0,9951-0,9949=0,0002.
  • Assumindo interpolação linear dentro desse pequeno intervalo, a fração do passo entre 2,57 e 2,58 é
\frac{0,0001}{0,0002} = 0,5.
  • Assim o z correspondente é
z \approx 2,57 + 0,5\times 0,01 = 2,575.
(Se você usar uma calculadora estatística/funcão inversa normal obtém z\approx 2,5758, que arredondado a três casas é 2,576. Usando a Appendix Table III e interpolação linear, obtemos 2,575.)

Passo 6

Conclusão e interpretação final:
  • O valor de z que satisfaz P(-z<Z<z)=0,99, obtido consultando a Appendix Table III de Montgomery (2006) e interpolando, é aproximadamente 2,575.
  • Na prática de prova, vale memorizar os quantis comuns: para probabilidade central 0,95 temos z\approx1,96, para 0,99 temos z\approx2,575 (ou 2,576 com arredondamento).

Resposta

z \approx 2,575

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