Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that
has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the value for
that solves each of the following:
Passo 1
O enunciado pede o valor de
tal que a probabilidade central simétrica em torno de zero de uma variável normal padrão
seja
. Ou seja, encontrar
que satisfaz
Informações dadas: a distribuição de
é a normal padrão (média
, desvio padrão
) e devemos usar a Tabela do Apêndice III (Tabela da normal padrão) do Montgomery, 2006.
Passo 2
Entendendo a simetria da normal padrão (explicação didática).
A densidade da normal padrão é simétrica em torno de . Isso significa que as áreas à esquerda de
e à direita de
se espelham. Assim, a probabilidade central
é o dobro da probabilidade entre
e
. Em fórmulas,
A densidade da normal padrão é simétrica em torno de
Essa propriedade é útil porque muitas tabelas (incluindo a Appendix Table III do Montgomery, 2006) fornecem a área entre
e
ou a área à esquerda de
.
Passo 3
Converter o enunciado para a forma que a tabela dá (cálculo do valor procurado).
Como e usando a simetria acima, temos
Como
Portanto, a área entre
e
deve ser
.
Passo 4
Relacionar com a função de distribuição acumulada
(explicação didática).
A função de distribuição acumulada é
. Podemos relacionar
com a área entre
e
assim:
A função de distribuição acumulada
Substituindo
obtemos
Então procuramos o
tal que
.
Passo 5
Como usar a Appendix Table III do Montgomery, 2006 (instrução prática).
A Appendix Table III normalmente apresenta uma tabela com:
A Appendix Table III normalmente apresenta uma tabela com:
- ou as áreas entre
e (colocadas para positivo), ou - as áreas acumuladas
à esquerda de .
No nosso caso encontramos mais facilmente. Para usar a tabela do Montgomery, 2006: - procure na tabela o valor mais próximo de
na parte que lista áreas entre e ; em muitos formatos de tabela isso aparece nas células internas; - leia a linha e coluna correspondentes para obter o
(por exemplo, linha com a parte inteira e primeira casa decimal, coluna com a segunda casa decimal).
Se a tabela que você tem fornece(área à esquerda), procure diretamente.
Passo 6
Buscar o valor na tabela e interpretar (ação e verificação).
Ao procurar o valor (área entre
e
) ou
(área à esquerda) na Appendix Table III do Montgomery, 2006, o valor exato encontrado corresponde a
. Em outras palavras,
Ao procurar o valor
e
o que confirma que
.
Passo 7
Checagem alternativa (usando cauda superior).
Outra forma de ver: a probabilidade fora do intervalo central é ; como é simétrica, cada cauda tem área
. Assim procuramos
tal que
. A área à esquerda então é
, o que, como já visto, leva a
. Essa é só uma verificação lógica extra.
Outra forma de ver: a probabilidade fora do intervalo central é