Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that Z has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the value for z that solves each of the following:
P(-z<Z<z)=0.9973

Passo 1

O enunciado pede o valor de z tal que a probabilidade central simétrica em torno de zero de uma variável normal padrão Z seja 0,9973. Ou seja, encontrar z que satisfaz
P(-z < Z < z) = 0,9973.
Informações dadas: a distribuição de Z é a normal padrão (média 0, desvio padrão 1) e devemos usar a Tabela do Apêndice III (Tabela da normal padrão) do Montgomery, 2006.

Passo 2

Entendendo a simetria da normal padrão (explicação didática).
A densidade da normal padrão é simétrica em torno de 0. Isso significa que as áreas à esquerda de +z e à direita de -z se espelham. Assim, a probabilidade central P(-z<Z<z) é o dobro da probabilidade entre 0 e z. Em fórmulas,
P(-z<Z<z)=2\cdot P(0<Z<z).
Essa propriedade é útil porque muitas tabelas (incluindo a Appendix Table III do Montgomery, 2006) fornecem a área entre 0 e z ou a área à esquerda de z.

Passo 3

Converter o enunciado para a forma que a tabela dá (cálculo do valor procurado).
Como P(-z<Z<z)=0,9973 e usando a simetria acima, temos
P(0<Z<z)=\frac{0,9973}{2}=0,49865.
Portanto, a área entre 0 e z deve ser 0,49865.

Passo 4

Relacionar com a função de distribuição acumulada \Phi(z) (explicação didática).
A função de distribuição acumulada \Phi(z) é P(Z\le z). Podemos relacionar \Phi(z) com a área entre 0 e z assim:
\Phi(z)=P(Z\le z)=P(Z\le 0)+P(0<Z\le z)=0,5+P(0<Z<z).
Substituindo P(0<Z<z)=0,49865 obtemos
\Phi(z)=0,5+0,49865=0,99865.
Então procuramos o z tal que \Phi(z)=0,99865.

Passo 5

Como usar a Appendix Table III do Montgomery, 2006 (instrução prática).
A Appendix Table III normalmente apresenta uma tabela com:
  • ou as áreas entre 0 e z (colocadas para z positivo), ou
  • as áreas acumuladas \Phi(z) à esquerda de z.
    No nosso caso encontramos mais facilmente P(0<Z<z)=0,49865. Para usar a tabela do Montgomery, 2006:
  • procure na tabela o valor mais próximo de 0,49865 na parte que lista áreas entre 0 e z; em muitos formatos de tabela isso aparece nas células internas;
  • leia a linha e coluna correspondentes para obter o z (por exemplo, linha com a parte inteira e primeira casa decimal, coluna com a segunda casa decimal).
    Se a tabela que você tem fornece \Phi(z) (área à esquerda), procure 0,99865 diretamente.

Passo 6

Buscar o valor na tabela e interpretar (ação e verificação).
Ao procurar o valor 0,49865 (área entre 0 e z) ou 0,99865 (área à esquerda) na Appendix Table III do Montgomery, 2006, o valor exato encontrado corresponde a z=3,00. Em outras palavras,
\Phi(3,00)=0,99865
e
P(0<Z<3,00)=0,49865,
o que confirma que P(-3,00<Z<3,00)=0,9973.

Passo 7

Checagem alternativa (usando cauda superior).
Outra forma de ver: a probabilidade fora do intervalo central é 1-0,9973=0,0027; como é simétrica, cada cauda tem área 0,0027/2=0,00135. Assim procuramos z tal que P(Z>z)=0,00135. A área à esquerda então é 1-0,00135=0,99865, o que, como já visto, leva a z=3,00. Essa é só uma verificação lógica extra.

Resposta

z=3,00

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