Usando-se como referência o E^{3}, a seguir foram feitas algumas afirmações, cada uma delas identificada por um numeral distinto.
  1. A distância entre dois entes geométricos é o comprimento do menor segmento de reta que os possui como extremidades.
  2. A distância entre um ponto P e uma reta r é igual a medida do comprimento do segmento de reta perpendicular a r que possui extremidades em P e em r.
  3. A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os tem como extremidades.
  4. A distância entre um ponto P e um plano \beta é igual a medida do menor segmento de reta que tem como extremidades P em um ponto de \beta.
  5. A distância entre um ponto P e uma reta r é igual a medida do comprimento de um segmento de reta que tem numa das extremidades P e na outra extremidade um ponto qualquer de r.
  6. A distância entre um ponto P e um plano \gamma é igual a medida de um segmento de reta qualquer que tem como extremidades P em um ponto \gamma.
  7. A distância entre um ponto P e uma reta r é igual a medida do comprimento do menor segmento de reta que tem numa das extremidades P e na outra extremidade um ponto de r.

Passo 1

O enunciado apresenta várias definições de distância em E^3 numeradas por 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64. Nosso objetivo é verificar, para cada caso, se a afirmação corresponde à definição de distância entre entes geométricos (menor comprimento de segmento que os une) e identificar quais estão corretas.

Passo 2

Analisando as afirmações gerais e a distância entre dois pontos:
– Afirmação 1: “A distância entre dois entes geométricos é o comprimento do menor segmento de reta que os possui como extremidades.”
Esta é a definição genérica de distância em E^3. Logo, 1 está correta.
– Afirmação 2: “A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os tem como extremidades.”
Entre dois pontos só existe um segmento que os une, e é o menor. Portanto, 2 está correta.

Passo 3

Analisando as afirmações sobre distância de um ponto P a uma reta r:
– Afirmação 16: “A distância entre um ponto P e uma reta r é igual à medida do comprimento do segmento de reta perpendicular a r que possui extremidades em P e em r.”
A perpendicular a r é justamente o menor segmento de ligação, logo 16 está correta.
– Afirmação 8: “A distância entre um ponto P e uma reta r é igual à medida do comprimento do menor segmento de reta que tem numa das extremidades P e na outra extremidade um ponto de r.”
Isto coincide com a definição geral de distância (menor segmento), então 8 está correta.
– Afirmação 4: “A distância entre um ponto P e uma reta r é igual à medida do comprimento de um segmento de reta que tem numa das extremidades P e na outra um ponto qualquer de r.”
Aqui faltou a condição “menor segmento”. Como vale para qualquer ponto de r, não garante a distância mínima, logo 4 é falsa.

Passo 4

Analisando as afirmações sobre distância de um ponto P a um plano \beta ou \gamma:
– Afirmação 32: “A distância entre um ponto P e um plano \beta é igual à medida do menor segmento de reta que tem como extremidades P e um ponto de \beta.”
É a definição geral, então 32 está correta.
– Afirmação 64: “A distância entre um ponto P e um plano \gamma é igual à medida de um segmento de reta qualquer que tem como extremidades P e um ponto de \gamma.”
Novamente falta “menor segmento”, portanto 64 é falsa.

Passo 5

Os rótulos corretos são (1), (2), (8), (16) e (32). A soma desses números dá a resposta no formato habitual de provas que usam bits:
1 + 2 + 8 + 16 + 32 = 59

Resposta

59

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