Usando a regra da cadeia apropriada, calcule as seguintes derivadas:
e
para
e
Passo 1
O enunciado dá a função
com as dependências
O que pede: calcular as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes que temos:
-
é função de três variáveis intermediárias . - Cada uma dessas
depende de e . - Para obter
e devemos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (compor derivadas de em relação a e derivadas de em relação a ).
Passo 2
Regra da cadeia (forma prática): se
e
, então
onde
são as derivadas parciais de
em relação a
(mantendo as outras variáveis fixas).
Aqui
. A ideia: primeiro calculo
; depois calculo
etc.; por fim aplico as fórmulas acima e substituo
por suas expressões em
.
Passo 3
Calcular
com
.
- Derivada em relação a
: trata-se de produto simples, mas aparece multiplicando que é constante em relação a . Logo
- Derivada em relação a
: aqui é tratado como constante e depende de via o produto . Usando a regra da cadeia para com :
Multiplicando por
(que é constante aqui),
- Derivada em relação a
: procedimento análogo (agora ):
Resumo:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, usando
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para
:
Substituindo
e as derivadas de
:
Simplificando (o segundo termo é zero):
Agora substituo
para escrever tudo em termos de
:
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Simplificando os sinais:
Fatorando
:
Agora substituo
. Primeiro calcule
. Assim
Ou escrevendo de forma reorganizada:
Passo 7
Pequeno comentário final e dica para a prova: siga a receita fixa — calcule primeiro
, depois
e finalmente monte a soma da regra da cadeia. Isso evita confusão com sinais e fatores. Vai dar certo, respira e aplica a receita passo a passo!