Usando a regra da cadeia apropriada, calcule as seguintes derivadas:
\frac{\partial w}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial t} para w=x \cos (y z), \operatorname{com} x=s^{2}, y=t^{2} e z=s-2 t

Passo 1

O enunciado dá a função
w = x\cos(yz)
com as dependências
x = s^{2},\qquad y = t^{2},\qquad z = s - 2t.
O que pede: calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial s} e \dfrac{\partial w}{\partial t}.
Informações relevantes que temos:
  • w é função de três variáveis intermediárias x,y,z.
  • Cada uma dessas x,y,z depende de s e t.
  • Para obter \dfrac{\partial w}{\partial s} e \dfrac{\partial w}{\partial t} devemos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (compor derivadas de w em relação a x,y,z e derivadas de x,y,z em relação a s,t).

Passo 2

Regra da cadeia (forma prática): se w=f(x,y,z) e x=x(s,t),\,y=y(s,t),\,z=z(s,t), então
\frac{\partial w}{\partial s} = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + f_{y}\,\frac{\partial y}{\partial s} + f_{z}\,\frac{\partial z}{\partial s},
\frac{\partial w}{\partial t} = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + f_{y}\,\frac{\partial y}{\partial t} + f_{z}\,\frac{\partial z}{\partial t},
onde f_{x},f_{y},f_{z} são as derivadas parciais de f em relação a x,y,z (mantendo as outras variáveis fixas).
Aqui f(x,y,z)=x\cos(yz). A ideia: primeiro calculo f_x,f_y,f_z; depois calculo \partial x/\partial s,\partial x/\partial t, etc.; por fim aplico as fórmulas acima e substituo x,y,z por suas expressões em s,t.

Passo 3

Calcular f_x,f_y,f_z com f(x,y,z)=x\cos(yz).
  • Derivada em relação a x: trata-se de produto simples, mas x aparece multiplicando \cos(yz) que é constante em relação a x. Logo
f_{x} = \cos(yz).
  • Derivada em relação a y: aqui x é tratado como constante e \cos(yz) depende de y via o produto yz. Usando a regra da cadeia para \cos(u) com u=yz:
\frac{d}{dy}\cos(yz) = -\sin(yz)\cdot\frac{d}{dy}(yz) = -\sin(yz)\cdot z.
Multiplicando por x (que é constante aqui),
f_{y} = x\cdot\big(-z\sin(yz)\big) = -x z \sin(yz).
  • Derivada em relação a z: procedimento análogo (agora \frac{d}{dz}\cos(yz) = -\sin(yz)\cdot y):
f_{z} = x\cdot\big(-y\sin(yz)\big) = -x y \sin(yz).
Resumo:
f_{x}=\cos(yz),\qquad f_{y}=-x z \sin(yz),\qquad f_{z}=-x y \sin(yz).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a s e t, usando x=s^{2},\,y=t^{2},\,z=s-2t.
  • Para x:
\frac{\partial x}{\partial s} = 2s,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=0.
  • Para y:
\frac{\partial y}{\partial s}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=2t.
  • Para z:
\frac{\partial z}{\partial s}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial t}=-2.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial s}:
\frac{\partial w}{\partial s} = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + f_{y}\,\frac{\partial y}{\partial s} + f_{z}\,\frac{\partial z}{\partial s}.
Substituindo f_x,f_y,f_z e as derivadas de x,y,z:
\frac{\partial w}{\partial s} = \cos(yz)\cdot(2s) + \big(-x z \sin(yz)\big)\cdot 0 + \big(-x y \sin(yz)\big)\cdot 1.
Simplificando (o segundo termo é zero):
\frac{\partial w}{\partial s} = 2s\cos(yz) - x y \sin(yz).
Agora substituo x=s^{2},\,y=t^{2},\,z=s-2t para escrever tudo em termos de s,t:
\frac{\partial w}{\partial s} = 2s\cos\big(t^{2}(s-2t)\big) - s^{2}t^{2}\sin\big(t^{2}(s-2t)\big).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial t}:
\frac{\partial w}{\partial t} = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + f_{y}\,\frac{\partial y}{\partial t} + f_{z}\,\frac{\partial z}{\partial t}.
Substituindo:
\frac{\partial w}{\partial t} = \cos(yz)\cdot 0 + \big(-x z \sin(yz)\big)\cdot(2t) + \big(-x y \sin(yz)\big)\cdot(-2).
Simplificando os sinais:
\frac{\partial w}{\partial t} = -2t x z \sin(yz) + 2 x y \sin(yz).
Fatorando 2x\sin(yz):
\frac{\partial w}{\partial t} = 2x\sin(yz)\,\big(y - t z\big).
Agora substituo x=s^{2},\,y=t^{2},\,z=s-2t. Primeiro calcule y - t z = t^{2} - t(s-2t)=t^{2}-ts+2t^{2}=3t^{2}-ts = t(3t - s). Assim
\frac{\partial w}{\partial t} = 2s^{2}\sin\big(t^{2}(s-2t)\big)\cdot t(3t-s).
Ou escrevendo de forma reorganizada:
\frac{\partial w}{\partial t} = 2s^{2}t(3t - s)\sin\big(t^{2}(s-2t)\big).

Passo 7

Pequeno comentário final e dica para a prova: siga a receita fixa — calcule primeiro f_x,f_y,f_z, depois \partial x/\partial(\cdot),\partial y/\partial(\cdot),\partial z/\partial(\cdot) e finalmente monte a soma da regra da cadeia. Isso evita confusão com sinais e fatores. Vai dar certo, respira e aplica a receita passo a passo!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}=2s\cos\big(t^{2}(s-2t)\big)-s^{2}t^{2}\sin\big(t^{2}(s-2t)\big)
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}=2s^{2}t(3t-s)\sin\big(t^{2}(s-2t)\big)

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