Um mol de um gás ideal sofre uma transformação hipotética do tipo: \mathrm{P} \cdot \mathrm{V}^{1 / 2}= constante. No estado i o gás possui uma pressão P e um volume V; no estado final fo gás possui um volume 4V. (a) encontre uma expressão que relaciona o volume do gás com a sua temperatura. (b) Em termos de P e V, qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? (c) Qual a variação da energia interna do gás? (d) Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
  • Dado: um mol ( n=1) de um gás ideal sofre uma transformação em que
P\,V^{1/2}=\text{conste} \quad(\text{chame essa constante de }C).
  • Estado inicial (i): pressão \,P e volume \,V.
  • Estado final (f): volume \,4V.
Perguntas:
(a) Encontrar uma expressão que relacione o volume do gás com a sua temperatura.
(b) Em termos de P e V, qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de V para 4V?
(c) Qual a variação da energia interna do gás (durante essa transformação)?
(d) Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?

Passo 2

Entendendo as relações básicas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular nada):
  1. Lei dos gases ideais para n=1:
P\,V=R\,T,
onde R é a constante dos gases e T a temperatura absoluta. Aqui P e V são as variáveis instantâneas do processo.
  1. A equação do processo é P\,V^{1/2}=C. Podemos escrever P como função de V:
P=\;C\,V^{-1/2}.
Isto significa que ao longo do processo a pressão varia como V^{-1/2}.
  1. Substituindo essa expressão de P na lei dos gases ideais para relacionar T e V:
P\,V=R\,T \quad\Longrightarrow\quad \bigl(C\,V^{-1/2}\bigr)\,V = R\,T.
Simplificando a potência de V:
C\,V^{1/2}=R\,T.
Portanto a relação entre T e V ao longo do processo é imediata:
T=\frac{C}{R}\,V^{1/2}.
Esta é uma forma conveniente; isolando V em função de T obtemos
V=\left(\frac{R\,T}{C}\right)^{2}.
Observação: a constante C pode ser escrita com os dados iniciais como C=P\,V^{1/2} (os P e V aqui são os do estado inicial).

Passo 3

Cálculo do trabalho W realizado pelo gás durante a expansão de V para 4V:
Definição do trabalho (positivo se o gás realiza trabalho):
W=\int_{V}^{4V} P\,dV.
Substituindo P=C\,V^{-1/2} na integral:
W=\int_{V}^{4V} C\,V^{-1/2}\,dV.
Fazendo a integração passo a passo: a primitiva de V^{-1/2} é 2V^{1/2}. Assim,
W=C\left[2V^{1/2}\right]_{V}^{4V}=2C\bigl((4V)^{1/2}-V^{1/2}\bigr).
Calculemos os radicais:
(4V)^{1/2}=2V^{1/2},
então
W=2C\bigl(2V^{1/2}-V^{1/2}\bigr)=2C\,V^{1/2}.
Agora usar C=P\,V^{1/2} (constante determinada pelo estado inicial):
W=2\bigl(P\,V^{1/2}\bigr)V^{1/2}=2P V.
Portanto o trabalho realizado pelo gás na expansão de V para 4V é 2P V.

Passo 4

Cálculo da variação da energia interna \Delta U:
Para um gás ideal a energia interna depende só da temperatura. A variação é dada por
\Delta U=n\,C_V\,\Delta T.
Aqui n=1 e C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (ainda simbólica, pois o enunciado não especifica mono- ou diatômico). Precisamos de \Delta T = T_f-T_i.
Usamos a relação que encontramos entre T e V:
T=\frac{C}{R}\,V^{1/2}.
No estado inicial V_i=V então
T_i=\frac{C}{R}\,V^{1/2}.
No estado final V_f=4V então
T_f=\frac{C}{R}\,(4V)^{1/2}=\frac{C}{R}\,2V^{1/2}=2\frac{C}{R}\,V^{1/2}=2T_i.
Logo a temperatura final é o dobro da inicial e
\Delta T=T_f-T_i=T_i.
Portanto
\Delta U = 1\cdot C_V\cdot T_i = C_V\,T_i.
Substituindo T_i por P V/R (usando P V=R T_i):
\Delta U = C_V\;\frac{P V}{R}.
Se quisermos expressar usando os graus de liberdade f (onde C_V=\tfrac{f}{2}R), obtemos
\Delta U=\frac{f}{2}\,P V.
Para o caso monoatômico usual ( f=3, C_V=\tfrac{3}{2}R) temos o valor numérico
\Delta U=\frac{3}{2}P V.

Passo 5

Cálculo do calor trocado Q (primeira lei da termodinâmica):
A primeira lei diz
Q=\Delta U + W.
Já temos \Delta U=C_V\,(P V/R) e W=2P V. Portanto
Q=C_V\;\frac{P V}{R}+2P V.
Se escrever em termos de f usando C_V=\tfrac{f}{2}R, simplifica para
Q=\frac{f}{2}P V + 2P V = \frac{f+4}{2}\,P V.
Para o caso monoatômico ( f=3):
Q=\frac{3}{2}P V + 2P V = \frac{7}{2}P V.

Resposta

(a) V=\left(\dfrac{R\,T}{C}\right)^{2}, com C=P\,V^{1/2} (constante do processo).
(b) W=2P\,V.
(c) \Delta U=C_V\;\dfrac{P V}{R} (ou \Delta U=\dfrac{f}{2}P V; para monoatômico \Delta U=\dfrac{3}{2}P V).
(d) Q=C_V\;\dfrac{P V}{R}+2P V (ou Q=\dfrac{f+4}{2}P V; para monoatômico Q=\dfrac{7}{2}P V).

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