Um mol de um gás ideal sofre uma transformação hipotética do tipo:
constante. No estado i o gás possui uma pressão P e um volume V; no estado final fo gás possui um volume 4V. (a) encontre uma expressão que relaciona o volume do gás com a sua temperatura. (b) Em termos de P e V, qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? (c) Qual a variação da energia interna do gás? (d) Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
- Dado: um mol (
) de um gás ideal sofre uma transformação em que
- Estado inicial (i): pressão
e volume . - Estado final (f): volume
.
Perguntas:
(a) Encontrar uma expressão que relacione o volume do gás com a sua temperatura.
(b) Em termos de e
, qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de
para
?
(c) Qual a variação da energia interna do gás (durante essa transformação)?
(d) Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?
(a) Encontrar uma expressão que relacione o volume do gás com a sua temperatura.
(b) Em termos de
(c) Qual a variação da energia interna do gás (durante essa transformação)?
(d) Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?
Passo 2
Entendendo as relações básicas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular nada):
- Lei dos gases ideais para
:
onde
é a constante dos gases e
a temperatura absoluta. Aqui
e
são as variáveis instantâneas do processo.
- A equação do processo é
. Podemos escrever como função de :
Isto significa que ao longo do processo a pressão varia como
.
- Substituindo essa expressão de
na lei dos gases ideais para relacionar e :
Simplificando a potência de
:
Portanto a relação entre
e
ao longo do processo é imediata:
Esta é uma forma conveniente; isolando
em função de
obtemos
Observação: a constante
pode ser escrita com os dados iniciais como
(os
e
aqui são os do estado inicial).
Passo 3
Cálculo do trabalho
realizado pelo gás durante a expansão de
para
:
Definição do trabalho (positivo se o gás realiza trabalho):
Substituindo
na integral:
Fazendo a integração passo a passo: a primitiva de
é
. Assim,
Calculemos os radicais:
então
Agora usar
(constante determinada pelo estado inicial):
Portanto o trabalho realizado pelo gás na expansão de
para
é
.
Passo 4
Cálculo da variação da energia interna
:
Para um gás ideal a energia interna depende só da temperatura. A variação é dada por
Aqui
e
é a capacidade calorífica molar a volume constante (ainda simbólica, pois o enunciado não especifica mono- ou diatômico). Precisamos de
.
Usamos a relação que encontramos entre
e
:
No estado inicial
então
No estado final
então
Logo a temperatura final é o dobro da inicial e
Portanto
Substituindo
por
(usando
):
Se quisermos expressar usando os graus de liberdade
(onde
), obtemos
Para o caso monoatômico usual (
,
) temos o valor numérico
Passo 5
Cálculo do calor trocado
(primeira lei da termodinâmica):
A primeira lei diz
Já temos
e
. Portanto
Se escrever em termos de
usando
, simplifica para
Para o caso monoatômico (
):
Resposta
(a)
, com
(constante do processo).
(b) .
(c) (ou
; para monoatômico
).
(d) (ou
; para monoatômico
).
(b)
(c)
(d)