Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções compostas:
h(x)=\operatorname{sen}(\cos (\operatorname{tg} x)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\sin\bigl(\cos(\tan x)\bigr).
Vamos usar a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de \sin, \cos e \tan.

Passo 2

Definimos as funções internas e suas derivadas:
u(x)=\tan x,\quad u'(x)=\operatorname{sec}^2 x;
v(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr),\quad v'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x);
w(x)=\sin\bigl(v(x)\bigr),\quad w'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia até chegar em h(x)=w(x), obtemos
h'(x)=w'(x) =\cos\bigl(\cos(\tan x)\bigr)\,\bigl[-\sin(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x\bigr] =-\cos\bigl(\cos(\tan x)\bigr)\,\sin(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x.

Resposta

h'(x)=-\cos\bigl(\cos(\tan x)\bigr)\,\sin(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x.

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