Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções compostas:
g(t)=\left(\frac{t-2}{2 t+1}\right)^{9}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta
g(t)=\Bigl(\frac{t-2}{2t+1}\Bigr)^{9}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma potência, junto com a regra do quociente para derivar o argumento interno.

Passo 2

Definimos a função interna
u(t)=\frac{t-2}{2t+1}
e a função externa
f(u)=u^{9}.
Assim g(t)=f(u(t)).

Passo 3

Pela regra da cadeia temos
g'(t)=f'\bigl(u(t)\bigr)\cdot u'(t).
Como f'(u)=9u^{8}, fica
g'(t)=9\Bigl(\frac{t-2}{2t+1}\Bigr)^{8}\cdot u'(t).

Passo 4

Para calcular u'(t) usamos a regra do quociente:
u(t)=\frac{t-2}{2t+1} \quad\Longrightarrow\quad u'(t) =\frac{1\cdot(2t+1)-(t-2)\cdot2}{(2t+1)^{2}} =\frac{2t+1-2t+4}{(2t+1)^{2}} =\frac{5}{(2t+1)^{2}}.

Passo 5

Substituindo u'(t) em g'(t):
g'(t) =9\Bigl(\frac{t-2}{2t+1}\Bigr)^{8}\cdot\frac{5}{(2t+1)^{2}} =45\;\frac{(t-2)^{8}}{(2t+1)^{10}}.

Resposta

g'(t)=45\,\frac{(t-2)^{8}}{(2t+1)^{10}}.

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