Usando a regra da cadeia, calcule:
e
, sendo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função composta:
. - Relações entre variáveis:
e . - O enunciado pede: calcular
e . - Informação extra importante para a resolução:
depende de e através de e .
Passo 2
Entender a estrutura da composição (sem ainda calcular): é útil ver
como uma composição
onde definimos a função intermediária
.
Isto significa que para variar ou
a função
muda por duas vias: pela mudança de
e pela mudança de
. Isso motiva o uso da regra da cadeia para funções de várias variáveis (vamos usar isso nos próximos passos).
Isto significa que para variar
Passo 3
Enunciando a regra da cadeia para este caso (dois argumentos intermediários): se
, então
Explicando o que cada termo é:
mede quanto
muda quando só
varia (mantendo
fixo);
mede quanto
muda quando
varia (mantendo
fixo). Os outros termos são análogos.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
(aqui uso a regra da cadeia simples dentro de
):
- Para derivar
em relação a , trate como constante; escreva . Então . Como , obtemos
- Para derivar
em relação a , trate como constante; escreva . Então , logo
Comentário didático: derivada de
é o próprio
vezes a derivada de “algo”.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
e
:
-
então
-
então (produto de e , tratando a outra variável como constante)
Explicando: ao derivar
em relação a
mantém-se
como constante, por isso surge
, e análogo para a outra.
Passo 6
Substituir tudo na fórmula da regra da cadeia para
:
Usando os resultados dos passos anteriores:
Fatorando
:
Agora substituir
e
:
Portanto uma forma final conveniente é
Passo 7
Fazer o mesmo para
:
Fatorando
:
Substituindo
e
:
Assim uma forma final é
Passo 8
Resumo didático curto e exemplo mental: a regra da cadeia aqui soma as contribuições vindas de
e de
. Cada contribuição é o quanto
muda por
(ou
) vezes o quanto
(ou
) muda por
(ou
). Um exemplo parecido e simples para fixar: se
,
,
, então
— mesmo padrão que usamos aqui.
Passo 9
Força aí! Se ficar com alguma dúvida sobre algum dos passos (por exemplo por que
ou por que
), me fala que eu explico com calma e mais exemplos. Tá indo bem.