Usando a regra da cadeia, calcule:
\partial w / \partial r e \partial w / \partial s, sendo w=e^{t v} ; t=r+s, v=r s

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função composta: w = e^{t v}.
  • Relações entre variáveis: t = r + s e v = r s.
  • O enunciado pede: calcular \dfrac{\partial w}{\partial r} e \dfrac{\partial w}{\partial s}.
  • Informação extra importante para a resolução: w depende de r e s através de t(r,s) e v(r,s).

Passo 2

Entender a estrutura da composição (sem ainda calcular): é útil ver w como uma composição
w(r,s) = W\big(t(r,s),\,v(r,s)\big),
onde definimos a função intermediária W(t,v) = e^{t v}.
Isto significa que para variar r ou s a função w muda por duas vias: pela mudança de t e pela mudança de v. Isso motiva o uso da regra da cadeia para funções de várias variáveis (vamos usar isso nos próximos passos).

Passo 3

Enunciando a regra da cadeia para este caso (dois argumentos intermediários): se w(r,s)=W\big(t(r,s),v(r,s)\big), então
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial W}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r} + \frac{\partial W}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial r},
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial W}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial s} + \frac{\partial W}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial s}.
Explicando o que cada termo é: \dfrac{\partial W}{\partial t} mede quanto W muda quando só t varia (mantendo v fixo); \dfrac{\partial t}{\partial r} mede quanto t muda quando r varia (mantendo s fixo). Os outros termos são análogos.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de W(t,v)=e^{t v} (aqui uso a regra da cadeia simples dentro de W):
  • Para derivar W em relação a t, trate v como constante; escreva u(t)=t v. Então \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}u'(t). Como u'(t)=v, obtemos
\frac{\partial W}{\partial t} = v\,e^{t v}.
  • Para derivar W em relação a v, trate t como constante; escreva u(v)=t v. Então u'(v)=t, logo
\frac{\partial W}{\partial v} = t\,e^{t v}.
Comentário didático: derivada de e^{\text{algo}} é o próprio e^{\text{algo}} vezes a derivada de “algo”.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de t(r,s) e v(r,s):
  • t(r,s)=r+s então
\frac{\partial t}{\partial r}=1,\qquad \frac{\partial t}{\partial s}=1.
  • v(r,s)=r s então (produto de r e s, tratando a outra variável como constante)
\frac{\partial v}{\partial r}=s,\qquad \frac{\partial v}{\partial s}=r.
Explicando: ao derivar rs em relação a r mantém-se s como constante, por isso surge s, e análogo para a outra.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula da regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial r}:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial W}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial r} + \frac{\partial W}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial r}.
Usando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial w}{\partial r} = \big(v\,e^{t v}\big)\cdot 1 + \big(t\,e^{t v}\big)\cdot s.
Fatorando e^{t v}:
\frac{\partial w}{\partial r} = e^{t v}\big(v + t s\big).
Agora substituir t=r+s e v=r s:
v + t s = r s + (r+s)s = 2 r s + s^2 = s(2r+s).
Portanto uma forma final conveniente é
\frac{\partial w}{\partial r} = e^{r s (r+s)}\,s(2r+s).

Passo 7

Fazer o mesmo para \dfrac{\partial w}{\partial s}:
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial W}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial s} + \frac{\partial W}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial s} = \big(v\,e^{t v}\big)\cdot 1 + \big(t\,e^{t v}\big)\cdot r.
Fatorando e^{t v}:
\frac{\partial w}{\partial s} = e^{t v}\big(v + t r\big).
Substituindo t=r+s e v=r s:
v + t r = r s + r(r+s) = r^2 + 2 r s = r(r+2s).
Assim uma forma final é
\frac{\partial w}{\partial s} = e^{r s (r+s)}\,r(r+2s).

Passo 8

Resumo didático curto e exemplo mental: a regra da cadeia aqui soma as contribuições vindas de t e de v. Cada contribuição é o quanto W muda por t (ou v) vezes o quanto t (ou v) muda por r (ou s). Um exemplo parecido e simples para fixar: se W(t,v)=e^{tv}, t=x+y, v=xy, então \partial w/\partial x = e^{tv}\big(v + t y\big) — mesmo padrão que usamos aqui.

Passo 9

Força aí! Se ficar com alguma dúvida sobre algum dos passos (por exemplo por que \partial W/\partial t = v e^{tv} ou por que \partial v/\partial r = s), me fala que eu explico com calma e mais exemplos. Tá indo bem.

Resposta

\dfrac{\partial w}{\partial r}=e^{r s (r+s)}\,s(2r+s)\n
\dfrac{\partial w}{\partial s}=e^{r s (r+s)}\,r(r+2s)

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