Usando a regra da cadeia, calcule:
\partial s / \partial y, sendo s=t r+u e^{v} ; t=x y^{2} z, r=x^{2} y z, u=x y z^{2}, v=x y z

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes definições (tudo isso é fornecido pelo problema):
  • s = t\,r + u\,e^{v}.
  • t = x\,y^{2}\,z.
  • r = x^{2}\,y\,z.
  • u = x\,y\,z^{2}.
  • v = x\,y\,z.
O que o enunciado pede:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial s}{\partial y}.

Passo 2

O que significa \displaystyle \frac{\partial s}{\partial y}: é a derivada parcial de s em relação a y, isto é, a taxa de variação de s quando só y muda e x e z são tratados como constantes. Na prática, quando derivar em relação a y, qualquer fator que envolva somente x e z se comporta como constante.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra do produto (duas funções f e g): \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(f g) = \frac{\partial f}{\partial y}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial y}. Ou seja, mantém uma função e deriva a outra, somando os dois casos.
  • Regra da cadeia para exponencial: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} e^{v} = e^{v}\,\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Derivada de potência simples em y: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} y^{n} = n\,y^{n-1}.
    Vamos aplicar essas regras etapa a etapa.

Passo 4

Primeiro calculemos as derivadas parciais das subfunções em relação a y. Lembrando: x e z são constantes aqui.
  • Para t = x\,y^{2}\,z:
    \frac{\partial t}{\partial y} = x\cdot z\cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = x z \cdot 2y = 2 x y z.
  • Para r = x^{2}\,y\,z:
    \frac{\partial r}{\partial y} = x^{2}\,z\cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^{2} z.
  • Para u = x\,y\,z^{2}:
    \frac{\partial u}{\partial y} = x\,z^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) = x z^{2}.
  • Para v = x\,y\,z:
    \frac{\partial v}{\partial y} = x\,z\cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) = x z.

Passo 5

Agora derivamos o primeiro termo de s, que é t\,r, usando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}(t r) = \frac{\partial t}{\partial y}\,r + t\,\frac{\partial r}{\partial y}.
Substituindo as derivadas que encontramos:
\frac{\partial}{\partial y}(t r) = (2 x y z)\cdot (x^{2} y z) + (x y^{2} z)\cdot (x^{2} z).
Calculemos cada parcela:
(2 x y z)\cdot (x^{2} y z) = 2 x^{3} y^{2} z^{2},
(x y^{2} z)\cdot (x^{2} z) = x^{3} y^{2} z^{2}.
Somando:
\frac{\partial}{\partial y}(t r) = 2 x^{3} y^{2} z^{2} + x^{3} y^{2} z^{2} = 3 x^{3} y^{2} z^{2}.

Passo 6

Agora derivamos o segundo termo de s, que é u\,e^{v}. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(u\,e^{v}\big) = \frac{\partial u}{\partial y}\,e^{v} + u\,\frac{\partial}{\partial y}(e^{v}) = \frac{\partial u}{\partial y}\,e^{v} + u\,e^{v}\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo \frac{\partial u}{\partial y}=x z^{2} e \frac{\partial v}{\partial y}=x z:
\frac{\partial}{\partial y}\big(u\,e^{v}\big) = (x z^{2})\,e^{v} + (x y z^{2})\,e^{v}\,(x z).
Escrevendo v = x y z de volta quando for útil:
\frac{\partial}{\partial y}\big(u\,e^{v}\big) = x z^{2} e^{x y z} + x^{2} y z^{3} e^{x y z}.

Passo 7

Somando as contribuições dos dois termos para obter \displaystyle \frac{\partial s}{\partial y}:
\frac{\partial s}{\partial y} = 3 x^{3} y^{2} z^{2} + x z^{2} e^{x y z} + x^{2} y z^{3} e^{x y z}.
Podemos fatorar a parte exponencial para deixá-la mais compacta:
x z^{2} e^{x y z} + x^{2} y z^{3} e^{x y z} = x z^{2} e^{x y z}\big(1 + x y z\big).
Então uma forma final simplificada é
\frac{\partial s}{\partial y} = 3 x^{3} y^{2} z^{2} + x z^{2} e^{x y z}\big(1 + x y z\big).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial s}{\partial y}=3 x^{3} y^{2} z^{2} + x z^{2} e^{x y z}\big(1 + x y z\big)

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