Usando a regra da cadeia, calcule:
, sendo
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes definições (tudo isso é fornecido pelo problema):
-
. -
. -
. -
. -
.
O que o enunciado pede:
- Calcular
.
Passo 2
O que significa
: é a derivada parcial de
em relação a
, isto é, a taxa de variação de
quando só
muda e
e
são tratados como constantes. Na prática, quando derivar em relação a
, qualquer fator que envolva somente
e
se comporta como constante.
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra do produto (duas funções
e ): . Ou seja, mantém uma função e deriva a outra, somando os dois casos. - Regra da cadeia para exponencial:
. - Derivada de potência simples em
: .
Vamos aplicar essas regras etapa a etapa.
Passo 4
Primeiro calculemos as derivadas parciais das subfunções em relação a
. Lembrando:
e
são constantes aqui.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora derivamos o primeiro termo de
, que é
, usando a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Calculemos cada parcela:
Somando:
Passo 6
Agora derivamos o segundo termo de
, que é
. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Escrevendo
de volta quando for útil:
Passo 7
Somando as contribuições dos dois termos para obter
:
Podemos fatorar a parte exponencial para deixá-la mais compacta:
Então uma forma final simplificada é