Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = e^(1 - cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a derivada de usando a Regra da Cadeia. A matéria que estamos usando aqui é a derivação de funções compostas, e para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem . Aqui, temos uma função exponencial , onde . Isso significa que é a função interna dentro da exponencial.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Essa regra nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. Se temos , então a derivada é . Ou seja, derivamos a função externa mantendo a interna igual e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia no nosso caso:
  • Função externa:
  • Função interna:
Primeiro, derivamos a função externa em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia juntando as duas partes que derivamos:
Lembrando que , então substituímos de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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