Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = ln(sen(x) - cot(x))

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que são compostas. Aqui, temos uma função logarítmica natural , onde . A Regra da Cadeia é perfeita para isso, pois ela lida com funções dentro de funções.

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que se e , então a derivada de em relação a é:
Ou seja, derivamos a função externa em relação a e multiplicamos pela derivada da função interna em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função externa em relação a :
Isso é uma regra básica das derivadas para o logaritmo natural.

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a :
Aqui usamos que:

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia:
Então, simplificando:

Resposta

A derivada é:

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