Usando a regra da cadeia, determine \frac{d z}{d t} nos itens abaixo.
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=t, y=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado define
z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, \quad x = t, \quad y = \sin t
e pede \dfrac{dz}{dt}. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, em que aplicamos
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos os derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como
z = (x^{2} + y^{2})^{\tfrac12},
temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac12\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac12\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Derivamos x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t) = 1, \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t.

Passo 4

Substituímos na regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 1 + \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot \cos t = \frac{x + y\,\cos t}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Finalmente, voltamos às expressões em t: x = t e y = \sin t, logo
\frac{dz}{dt} = \frac{t + \sin t\;\cos t}{\sqrt{t^{2} + \sin^{2}t}}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{t + \sin t\;\cos t}{\sqrt{t^{2} + \sin^{2}t}}.

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