Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
z=\ln (x)+\ln (y)+x y, x=e^{t}, y=e^{-t}

Passo 1

O enunciado define \displaystyle z = \ln(x) + \ln(y) + x\,y
com \displaystyle x = e^{t} e \displaystyle y = e^{-t}.
Para achar \displaystyle \frac{dz}{dt} usamos a regra da cadeia em duas variáveis:
\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1}{x}+y, \quad \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{1}{y}+x, \quad \frac{dx}{dt}=e^{t}, \quad \frac{dy}{dt}=-\,e^{-t}.
Logo,
\frac{dz}{dt} =\Bigl(\frac{1}{x}+y\Bigr)e^{t} +\Bigl(\frac{1}{y}+x\Bigr)\bigl(-e^{-t}\bigr).
Substituindo x=e^{t} e y=e^{-t} (então 1/x=e^{-t}, 1/y=e^{t}),
\frac{dz}{dt} =\bigl(e^{-t}+e^{-t}\bigr)e^{t} +\bigl(e^{t}+e^{t}\bigr)(-e^{-t}) =2 - 2 = 0.

Passo 3

O enunciado menciona também \displaystyle w=f(x,y,z), mas não especifica qual é essa função w. Sem saber a fórmula de w, não é possível aplicar a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{dw}{dt}.

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=0 \displaystyle \frac{dw}{dt} não pode ser determinado pois w não foi especificado.

Exercícios relacionados