Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: \frac{\partial z}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial t}, \frac{\partial w}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial r}.
z=x^{2}-y^{2}, x=3 t-s, y=t+2 s

Passo 1

O enunciado define \;z = f(x,y) = x^2 - y^2,
com \;x = 3t - s,\quad y = t + 2s,
e depois diz que w = f(x,y,z) é uma função de três variáveis.
Vamos primeiro achar \partial z/\partial t e \partial z/\partial s usando a regra da cadeia simples, e em seguida usar a regra da cadeia completa para achar \partial w/\partial t, \partial w/\partial s e \partial w/\partial r.

Passo 2

Calcule as derivadas de x e y em relação a t e a s: \displaystyle \frac{\partial x}{\partial t}=3,\quad \frac{\partial x}{\partial s}=-1, \displaystyle \frac{\partial y}{\partial t}=1,\quad \frac{\partial y}{\partial s}=2.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de z=x^2-y^2 em relação a x e y: \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-2y.

Passo 4

Use a regra da cadeia para obter \partial z/\partial t e \partial z/\partial s:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} = 2x\cdot 3 \;+\;(-2y)\cdot 1 = 6x -2y.
Substituindo x=3t-s e y=t+2s:
\frac{\partial z}{\partial t} = 6(3t - s) -2(t+2s) = 18t -6s -2t -4s = 16t -10s.
De modo análogo,
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} = 2x\cdot(-1) + (-2y)\cdot2 = -2x -4y,
\frac{\partial z}{\partial s} = -2(3t - s) -4(t+2s) = -6t +2s -4t -8s = -10t -6s.

Passo 5

Para w = f(x,y,z) a regra da cadeia completa em cada variável (por exemplo em t) é
\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial t}.
Analogamente,
\frac{\partial w}{\partial s} = w_x\,x_s + w_y\,y_s + w_z\,z_s, \quad \frac{\partial w}{\partial r} = w_x\,x_r + w_y\,y_r + w_z\,z_r.
Aqui usamos a notação abreviada \;w_x = \frac{\partial w}{\partial x},\;w_y = \frac{\partial w}{\partial y},\;w_z = \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 6

Substituindo os valores de x_t,y_t,z_t e x_s,y_s,z_s e lembrando que x e y não dependem de r (logo x_r=y_r=0) e z só depende de t,s (logo z_r=0), obtemos
\frac{\partial w}{\partial t} = w_x\cdot 3 \;+\; w_y\cdot 1 \;+\; w_z\,(16t -10s),
\frac{\partial w}{\partial s} = w_x\cdot(-1) \;+\; w_y\cdot 2 \;+\; w_z\,(-10t -6s),
\frac{\partial w}{\partial r} = w_x\cdot 0 + w_y\cdot 0 + w_z\cdot 0 = 0.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial t} = 16t -10s,\quad \frac{\partial z}{\partial s} = -10t -6s,
\frac{\partial w}{\partial t} = 3\,w_x + 1\,w_y + (16t -10s)\,w_z,
\frac{\partial w}{\partial s} = -1\,w_x + 2\,w_y + (-10t-6s)\,w_z,
\frac{\partial w}{\partial r} = 0.

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