- Usando a regra da cadeia para
z=f(x, y) e
w=f(x, y, z) , calcule:
\frac{\partial z}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial s} e
\frac{\partial w}{\partial t}, \frac{\partial w}{\partial s} e
\frac{\partial w}{\partial r} .
(e)
z=\operatorname{cosh} \left(\frac{y}{x}\right), x=3 t^{2} s, y=6 t e^{3} ’
(e)
Passo 1
O enunciado define
e pede
\frac{\partial z}{\partial t} e
\frac{\partial z}{\partial s} .
Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
Passo 2
Calculemos
\frac{\partial z}{\partial x} e
\frac{\partial z}{\partial y} .
Comoz = \operatorname{cosh}(u) com
u = y/x , temos
Como
Logo, por cadeia,
Passo 3
Agora
\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial s} .
Comox = 3\,t^{2}s e
y=6\,t\,e^{3} ,
Como
Passo 4
Aplique a regra da cadeia: