Usando as regras de derivação adequadas, obtenha as derivadas das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada da função
onde
é a variável (complexa) e
é a unidade imaginária. A tarefa é calcular
, a derivada de
em relação a
. As informações relevantes são apenas a expressão de
e o fato de que
é constante (ou seja, a derivada de
é zero).
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar e entender as regras que vamos usar — explicadinhas, passo a passo.
Regra do produto: se temos duas funções
e
, a derivada do produto é
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e similar para
. É a mesma ideia do mundo real: derivar uma vez a primeira mantendo a segunda, somar com manter a primeira e derivar a segunda.
Regra da cadeia + regra da potência: se temos uma função composta
com
inteiro, então
Ou seja, “desço o expoente e multiplico pela derivada do interior”. Aqui
é a derivada da função interna
.
Além disso, derivadas simples: a derivada de
é
, a derivada de uma constante é
e a derivada de
(onde
é constante) é
.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto para aplicar a regra do produto:
Vamos calcular
e
separadamente usando a regra da cadeia + potência.
Para
: tome
e
. Então
. Aplicando a regra:
Para
: tome
e
. Então
. Aplicando a regra:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão, fatorando fatores comuns para ficar mais elegante e fácil de usar na prova. Observe que em ambos os termos há o fator
e
. Fatore-os:
Agora simplificamos o parêntese grande. Desenvolvendo cada parte:
Somando:
Podemos retirar um fator
desse polinômio para simplificar ainda mais:
Substituindo de volta:
Passo 6
Reorganizando o fator
na frente, a forma final e compacta da derivada é