Usando as regras de derivação adequadas, obtenha as derivadas das seguintes funções:
f(z)=\left(z^{2}-i\right)^{3}(i z+1)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função
f(z)=\left(z^{2}-i\right)^{3}(i z+1)^{2},
onde z é a variável (complexa) e i é a unidade imaginária. A tarefa é calcular f'(z), a derivada de f em relação a z. As informações relevantes são apenas a expressão de f e o fato de que i é constante (ou seja, a derivada de i é zero).

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar e entender as regras que vamos usar — explicadinhas, passo a passo.
Regra do produto: se temos duas funções U(z) e V(z), a derivada do produto é
(U\cdot V)' = U'\cdot V + U\cdot V'.
Aqui U' significa a derivada de U em relação a z, e similar para V'. É a mesma ideia do mundo real: derivar uma vez a primeira mantendo a segunda, somar com manter a primeira e derivar a segunda.
Regra da cadeia + regra da potência: se temos uma função composta h(z)=\big(u(z)\big)^{n} com n inteiro, então
h'(z) = n\big(u(z)\big)^{n-1}\cdot u'(z).
Ou seja, “desço o expoente e multiplico pela derivada do interior”. Aqui u'(z) é a derivada da função interna u(z).
Além disso, derivadas simples: a derivada de z^{2} é 2z, a derivada de uma constante é 0 e a derivada de i z (onde i é constante) é i.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto para aplicar a regra do produto:
U(z)=\left(z^{2}-i\right)^{3},\qquad V(z)=(i z+1)^{2}.
Vamos calcular U'(z) e V'(z) separadamente usando a regra da cadeia + potência.
Para U(z): tome u(z)=z^{2}-i e n=3. Então u'(z)=2z. Aplicando a regra:
U'(z)=3\big(z^{2}-i\big)^{2}\cdot(2z)=6z\big(z^{2}-i\big)^{2}.
Para V(z): tome v(z)=i z+1 e n=2. Então v'(z)=i. Aplicando a regra:
V'(z)=2\big(i z+1\big)\cdot i=2i\big(i z+1\big).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(z)=U'(z)\cdot V(z) + U(z)\cdot V'(z).
Substituindo U,U',V,V' obtidos:
f'(z)=6z\big(z^{2}-i\big)^{2}\big(i z+1\big)^{2} + \big(z^{2}-i\big)^{3}\cdot 2i\big(i z+1\big).

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão, fatorando fatores comuns para ficar mais elegante e fácil de usar na prova. Observe que em ambos os termos há o fator \big(z^{2}-i\big)^{2} e \big(i z+1\big). Fatore-os:
f'(z)=\big(z^{2}-i\big)^{2}\big(i z+1\big)\Big(6z\big(i z+1\big) + 2i\big(z^{2}-i\big)\Big).
Agora simplificamos o parêntese grande. Desenvolvendo cada parte:
6z\big(i z+1\big)=6i z^{2}+6z,
2i\big(z^{2}-i\big)=2i z^{2}-2i^{2}=2i z^{2}-2(-1)=2i z^{2}+2.
Somando:
6i z^{2}+6z + 2i z^{2}+2 = 8i z^{2} + 6z + 2.
Podemos retirar um fator 2 desse polinômio para simplificar ainda mais:
8i z^{2} + 6z + 2 = 2\big(4i z^{2} + 3z + 1\big).
Substituindo de volta:
f'(z)=\big(z^{2}-i\big)^{2}\big(i z+1\big)\cdot 2\big(4i z^{2} + 3z + 1\big).

Passo 6

Reorganizando o fator 2 na frente, a forma final e compacta da derivada é
f'(z)=2\big(z^{2}-i\big)^{2}\big(i z+1\big)\big(4i z^{2} + 3z + 1\big).

Resposta

f'(z)=2\big(z^{2}-i\big)^{2}\big(i z+1\big)\big(4i z^{2} + 3z + 1\big)

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