Prove que se
, então
para todo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Foi dado um inteiro
com . - Preciso provar que a derivada da função
satisfaz
para os pontos
onde a função está definida.
- Observação importante (informação do enunciado que devemos registrar): se
a função não está definida em . Portanto, para a identidade só pode valer para .
A partir daqui vou mostrar passo a passo a prova, tratando separadamente
e
, e explicando todo conceito usado.
Passo 2
Definição de derivada que vamos usar (a ferramenta básica):
A derivada de uma função
em um ponto
é o limite do quociente incremental, isto é
quando esse limite existe. Aqui
é um número complexo que tende a
. Essa é justamente a definição que vamos aplicar a
. Vou também usar sem cerimônia o fato natural de que potências e somas de números complexos obedecem às mesmas regras algébricas que no caso real, e que limites e continuidade funcionam do mesmo jeito para complexos.
Passo 3
Caso
inteiro positivo (
) — fatoração e limite:
Usamos a identidade algébrica conhecida
válida para quaisquer complexos
. Agora aplicamos com
e
. Assim
Dividindo por
e tomando o limite
obtemos o quociente incremental:
Agora usamos que, para cada
, a função
é contínua em
(é uma potência); portanto quando
temos
. Logo, ao passar ao limite termo a termo,
Mas em cada somando
. Há exatamente
somandos (de
a
), então a soma vale
. Portanto, para
,
para todo
. (Exemplo concreto para fixar: se
, o fatoramento dá
. Dividindo por
e fazendo
obtemos
.)
Passo 4
Caso
inteiro negativo (
com
) — regra da recíproca via limite:
Para
escrevemos
. A função
já temos provado ser diferenciável em todo
e, em particular, diferenciável em qualquer ponto
com
. Para usar o método direto, vamos provar a fórmula da derivada do recíproco: se
é diferenciável em
e
, então
Prova rápida dessa fórmula por limite: escreva
Quando
a primeira fração tende a
(por definição de derivada de
) e
pela continuidade de
(derivabilidade implica continuidade). Assim o produto tende a
. Logo a fórmula do recíproco está provada.
Agora aplicamos essa fórmula com
. Sabemos pelo passo anterior que
. Portanto, para
,
Como
, isso dá exatamente
para todo
.
Passo 5
Conclusão unificada e observações finais:
- Para
a fórmula vale para todo . - Para
a fórmula vale para todo (pois a função não está definida em ).
Em ambas as situações a expressão da derivada é a mesma,.