Usando as regras de derivação calcule d y / d x para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
y=\sqrt{x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\sqrt{x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx} e simplificar o resultado, se possível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma raiz quadrada aninhada (radical composto por outros radicais).
  • Deve-se aplicar regras de derivação (regra do poder, regra da cadeia) repetidamente devido às composições.
  • Não foi pedido uso de domínio, mas implicitamente os radicais exigem x\ge 0.

Passo 2

Vou reescrever as raízes usando expoentes para facilitar a aplicação da regra do poder e da cadeia:
y=\bigl(x^{3}+\bigl(x^{2}+\sqrt{x}\bigr)^{1/2}\bigr)^{1/2}.
Lembrete das fórmulas que vou usar (explicadinhas):
  • Regra do poder: para f(t)=t^{n}, tem-se f'(t)=n\,t^{n-1}. Aqui n pode ser fração, por exemplo 1/2.
  • Regra da cadeia (modo de pensar): se y=F(u(x)) então
\frac{dy}{dx}=F'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa: primeiro derivar a função externa em relação à interna, depois multiplicar pela derivada da interna.

Passo 3

Defino camadas internas para aplicar a cadeia com calma:
u(x)=x^{3}+\bigl(x^{2}+\sqrt{x}\bigr)^{1/2}, \qquad y=u^{1/2}.
Aplicando a regra do poder à função externa y=u^{1/2} e a cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx}.
Agora preciso achar \dfrac{du}{dx}.

Passo 4

Derivo u(x)=x^{3}+\bigl(x^{2}+\sqrt{x}\bigr)^{1/2}. A derivada se separa em duas partes:
  • Derivada de x^{3} é, pela regra do poder, 3x^{2}.
  • Para a segunda parte, chamo
v(x)=x^{2}+\sqrt{x}, \qquad w(x)=v^{1/2}=\sqrt{v}.
Então a derivada da segunda parte é w'(x)=\dfrac{1}{2}v^{-1/2}\cdot v'(x) pela regra do poder + cadeia.

Passo 5

Calculo v'(x). Como v(x)=x^{2}+\sqrt{x}=x^{2}+x^{1/2},
  • derivada de x^{2} é 2x,
  • derivada de x^{1/2} é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    Portanto
v'(x)=2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Agora volto para w'(x):
w'(x)=\frac{1}{2}v^{-1/2}\cdot\biggl(2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}\biggr) =\frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot\biggl(2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}\biggr).
Lembrando v=x^{2}+\sqrt{x}, então
\frac{du}{dx}=3x^{2}+w'(x) =3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}\biggl(2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}\biggr).

Passo 7

Substituo \dfrac{du}{dx} em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\dfrac{du}{dx} e faço a simplificação algébrica passo a passo:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\left[3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{v}}\Bigl(2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}\Bigr)\right],
com u=x^{3}+\sqrt{v}=x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}} e v=x^{2}+\sqrt{x}.
Multiplico constantes onde dá:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{u}}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{u}\,\sqrt{v}}\Bigl(2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}\Bigr).
Distribuo o 1/4 no parêntese:
\frac{1}{4}\Bigl(2x+\frac{1}{2}x^{-1/2}\Bigr)=\frac{2x}{4}+\frac{1}{8}x^{-1/2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{8}x^{-1/2}.
Para deixar a forma um pouco mais compacta, posso juntar esses termos em um numerador único ao fator comum \sqrt{u}\sqrt{v}:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{u}}+\frac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{8}x^{-1/2}}{\sqrt{u}\,\sqrt{v}}.
Multiplicando numerador e denominador do segundo termo por 8 para escrever o numerador como uma soma única:
\frac{x}{2}+\frac{1}{8}x^{-1/2}=\frac{4x+\;x^{-1/2}}{8}.
Então uma forma final conveniente é
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}}+\frac{4x+x^{-1/2}}{8\sqrt{x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}\,\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}.

Passo 8

Breve comentário final de incentivo: deu trabalho, mas o processo é repetitivo — sempre aplicar a regra do poder na camada externa e multiplicar pela derivada da camada interna, descendo camada por camada. Se ficar nervoso na prova, identifique as camadas (como eu fiz com u e v) e derive cada uma com calma.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}}+\frac{4x+x^{-1/2}}{8\sqrt{x^{3}+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}\,\sqrt{x^{2}+\sqrt{x}}}

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