Usando as regras de derivação calcule
para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
e simplificar o resultado, se possível.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma raiz quadrada aninhada (radical composto por outros radicais).
- Deve-se aplicar regras de derivação (regra do poder, regra da cadeia) repetidamente devido às composições.
- Não foi pedido uso de domínio, mas implicitamente os radicais exigem
.
Passo 2
Vou reescrever as raízes usando expoentes para facilitar a aplicação da regra do poder e da cadeia:
Lembrete das fórmulas que vou usar (explicadinhas):
- Regra do poder: para
, tem-se . Aqui pode ser fração, por exemplo . - Regra da cadeia (modo de pensar): se
então
Isto significa: primeiro derivar a função externa em relação à interna, depois multiplicar pela derivada da interna.
Passo 3
Defino camadas internas para aplicar a cadeia com calma:
Aplicando a regra do poder à função externa
e a cadeia:
Agora preciso achar
.
Passo 4
Derivo
. A derivada se separa em duas partes:
- Derivada de
é, pela regra do poder, . - Para a segunda parte, chamo
Então a derivada da segunda parte é
pela regra do poder + cadeia.
Passo 5
Calculo
. Como
,
- derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Passo 6
Agora volto para
:
Lembrando
, então
Passo 7
Substituo
em
e faço a simplificação algébrica passo a passo:
com
e
.
Multiplico constantes onde dá:
Distribuo o
no parêntese:
Para deixar a forma um pouco mais compacta, posso juntar esses termos em um numerador único ao fator comum
:
Multiplicando numerador e denominador do segundo termo por
para escrever o numerador como uma soma única:
Então uma forma final conveniente é
Passo 8
Breve comentário final de incentivo: deu trabalho, mas o processo é repetitivo — sempre aplicar a regra do poder na camada externa e multiplicar pela derivada da camada interna, descendo camada por camada. Se ficar nervoso na prova, identifique as camadas (como eu fiz com
e
) e derive cada uma com calma.