onde a é constante, é uma superfície parametrizada regular. Descreva as curvas coordenadas de X . Descreva a superfície X quando:
(a) g(u) é constante;
(b) a=0.
Passo 1
O enunciado dá a curva
\alpha(u)=(f(u),0,g(u)),\quad u\in\mathbb{R},
com a condição f(u)\neq 0 para todo u. A aplicação é
onde a é constante. O que o enunciado pede, em linguagem clara, são três coisas:
Verificar que X é uma parametrização regular de superfície (ou seja: mostrar que as derivadas parciais existem, são contínuas e que \displaystyle X_u\times X_v\neq 0 para todo (u,v)).
Descrever as curvas coordenadas de X (isto é, as curvas obtidas fixando u ou fixando v).
Descrever geometricamente a superfície X nos dois casos especiais: (a) quando g(u) é constante; (b) quando a=0.
Passo 2
Primeiro explico o critério de regularidade que vou usar (sem pressupor que já saiba): uma parametrização X(u,v) de uma superfície é regular se as derivadas parciais X_u e X_v existem e são linearly independentes (equivalente a X_u\times X_v\neq 0) em todos os pontos. Isso garante que a imagem localmente é uma superfície suave (um plano tangente bem definido).
Calculemos as derivadas parciais de X. Como cada coordenada de X é função composta de u e v, derivamos componente a componente:
Aqui f'(u) e g'(u) são as derivadas de f e g em relação a u.
Passo 3
Agora vou calcular o produto vetorial X_u\times X_v. Lembrando a fórmula do produto vetorial como determinante, temos
X_u\times X_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ f'\cos v & f'\sin v & g'\\\\ - f\sin v & f\cos v & a \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante obtemos (cada termo escrito em notação componente a componente)
X_u\times X_v= \bigl(a f' \sin v - f g'\cos v,\; - a f' \cos v - f g'\sin v,\; f f'\bigr).
Passo 4
Para concluir regularidade precisamos mostrar que esse vetor nunca é o vetor zero. Uma maneira prática é computar o quadrado da norma e mostrar que é estritamente positivo:
\|X_u\times X_v\|^2 = \bigl(a f' \sin v - f g'\cos v\bigr)^2 + \bigl(- a f' \cos v - f g'\sin v\bigr)^2 + (f f')^2.
Agrupando termos (observe que as partes em \sin v e \cos v simplificam em soma de quadrados) obtemos
A curva \alpha(u)=(f(u),0,g(u)) é regular, portanto \alpha'(u)=(f'(u),0,g'(u))\neq 0 e assim f'(u)^2+g'(u)^2>0 para todo u.
Com isso, f^2(f'^2+g'^2)>0. Portanto a soma f^2(f'^2+g'^2)+a^2 f'^2 é estritamente positiva para todo (u,v), independentemente de a. Logo \|X_u\times X_v\|^2>0, isto é,
X_u\times X_v\neq 0\quad\text{para todo }(u,v).
Isso prova que X é uma parametrização regular de superfície.
Passo 5
Agora descrevo as curvas coordenadas u=\text{const} e v=\text{const}.
Curvas u=\text{const}=u_0. Substituindo u=u_0 em X obtemos
Isto é, para cada u_0 a curva coordenada é uma hélice circular de raio r=f(u_0)>0 em torno do eixo z: as projeções (x,y) descrevem um círculo de raio r e a coordenada z aumenta linearmente com v. Em particular, uma volta completa em v (isto é, \Delta v=2\pi) aumenta z em \Delta z=a(2\pi); portanto a “passada” (pitch) por volta é 2\pi a. Se a=0, essa curva degenerará para um círculo plano de raio f(u_0) no plano z=g(u_0).
Passo 6
Curvas v=\text{const}=v_0. Substituindo v=v_0 em X obtemos
Geometricamente, isto é a imagem da curva \alpha(u)=(f(u),0,g(u)) girada pelo ângulo v_0 em torno do eixo z (a rotação leva o ponto (f(u),0,g(u)) para (f(u)\cos v_0,f(u)\sin v_0,g(u))), e depois elevada em z por uma constante a v_0. Portanto cada curva v=v_0 é uma “meridiana” — um arco que fica contido em um plano que contém o eixo z e que forma o mesmo perfil (f(u),g(u)) visto numa direção radial fixada por v_0. Em outras palavras, varrendo v_0 obtém-se cópias rotacionadas de \alpha, deslocadas verticalmente por a v_0.
Passo 7
Finalmente, descrevo a superfície como objeto geométrico e os dois casos pedidos.
Intuição geral: X é obtida aplicando à curva \alpha(u)=(f(u),0,g(u)) a família de transformações que giram em torno do eixo z por um ângulo v e simultaneamente traduzem ao longo do eixo z de tal forma que cada rotação de ângulo v adiciona a v na coordenada z. Essa combinação rotação+translação ao longo do eixo é chamada de movimento de parafuso (screw motion). Portanto X é uma superfície helicoidal (ou, de forma mais geral, uma superfície obtida por movimento de parafuso da curva geratriz \alpha).
(a) Se g(u) é constante, digamos g(u)\equiv g_0, então
Nesse caso a curva geratriz original está contida no plano z=g_0, e a superfície resulta de aplicar o movimento de parafuso à essa curva plana. Geometricamente é uma família de hélices coaxiais (uma hélice para cada u, de raio f(u)) — ou seja, uma superfície helicoidal cujas seções radiais têm raio variável f(u). Se ainda happen que a=0 também, a superfície degenerará para o conjunto de círculos concentricos no plano z=g_0 (ou seja, um disco ou um anel, dependendo do conjunto imagem de f(u)).
Aqui não há tradução ao longo de z quando se roda: X é simplesmente a superfície obtida rotacionando a curva \alpha(u)=(f(u),0,g(u)) em torno do eixo z. Logo X é uma superfície de revolução com eixo z. As curvas u= const são círculos no plano z=g(u_0) de raio f(u_0) e as curvas v= const são as meridianas (cópias rotacionadas da geratriz \alpha).
Resposta
X é uma parametrização regular de superfície, pois \|X_u\times X_v\|^2=f^2(f'^2+g'^2)+a^2f'^2>0 para todo (u,v).\n
As curvas coordenadas são:\n
u=\text{const}=u_0:\; X(u_0,v)=(f(u_0)\cos v,f(u_0)\sin v,g(u_0)+a v), uma hélice circular de raio f(u_0) e pitch por volta 2\pi a (se a=0 é um círculo em z=g(u_0)).\n
v=\text{const}=v_0:\; X(u,v_0)=(f(u)\cos v_0,f(u)\sin v_0,g(u)+a v_0), que é a geratriz \alpha(u) rotacionada pelo ângulo v_0 e verticalmente deslocada por a v_0 (uma meridiana contida num plano que contém o eixo z).\n
(a) Se g(u) é constante (g\equiv g_0), X é uma superfície helicoidal obtida por movimento de parafuso da curva plana r=f(u) no plano z=g_0 (caso especial a=0 reduz para o conjunto de círculos concêntricos no plano z=g_0).\n
(b) Se a=0, X é uma superfície de revolução em torno do eixo z, obtida rotacionando a curva geratriz \alpha(u) em torno do eixo z.