Usando as regras de derivação, calcule a derivada em relação a
das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada em relação a
da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todo
porque o radicando é sempre positivo. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Reescrevendo a função de forma que facilite aplicar as regras de derivação:
Explicação didática (regra que vamos usar): quando temos uma função composta do tipo
, a derivada é dada pela chamada regra da cadeia:
onde
é a derivada de
em relação a
. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular a derivada da parte interna
.
Usamos a regra da soma (a derivada da soma é a soma das derivadas) e a regra do poder (a derivada de é
):
Usamos a regra da soma (a derivada da soma é a soma das derivadas) e a regra do poder (a derivada de
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia com
e
:
Aqui cada fator tem significado:
-
vem do expoente da raiz; -
é a potência reduzida em uma unidade do expoente; -
é a derivada da expressão interna .
Passo 5
Simplificar a expressão obtida: podemos dividir
por
para eliminar o fator
:
Escrever em forma sem expoente negativo, voltando da potência para raiz:
Fatorando
no numerador para uma forma mais compacta:
Passo 6
Verificação rápida da validade: o denominador
nunca é zero para
(por exemplo, em
vale
), então a expressão final é válida para todo
. Bom trabalho — essa é a forma que normalmente se apresenta a derivada numa prova.