Usando as regras de derivação, calcule a derivada em relação a x das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada em relação a x da função
f(x)=\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque o radicando x^{4}+x^{2}+1 é sempre positivo.
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Reescrevendo a função de forma que facilite aplicar as regras de derivação:
f(x)=\left(x^{4}+x^{2}+1\right)^{1/2}.
Explicação didática (regra que vamos usar): quando temos uma função composta do tipo \left(u(x)\right)^{n}, a derivada é dada pela chamada regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(u(x)^{n}\right)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x. Aqui n=\tfrac{1}{2} e u(x)=x^{4}+x^{2}+1.

Passo 3

Calcular a derivada da parte interna u(x)=x^{4}+x^{2}+1.
Usamos a regra da soma (a derivada da soma é a soma das derivadas) e a regra do poder (a derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)+\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)=4x^{3}+2x+0.
Portanto
u'(x)=4x^{3}+2x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia com n=\tfrac{1}{2} e u'(x)=4x^{3}+2x:
f'(x)=\frac{1}{2}\left(x^{4}+x^{2}+1\right)^{-1/2}\cdot\left(4x^{3}+2x\right).
Aqui cada fator tem significado:
  • \tfrac{1}{2} vem do expoente da raiz;
  • \left(x^{4}+x^{2}+1\right)^{-1/2} é a potência reduzida em uma unidade do expoente;
  • \left(4x^{3}+2x\right) é a derivada da expressão interna u(x).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida: podemos dividir \left(4x^{3}+2x\right) por 2 para eliminar o fator \tfrac{1}{2}:
f'(x)=\left(x^{4}+x^{2}+1\right)^{-1/2}\cdot\left(2x^{3}+x\right).
Escrever em forma sem expoente negativo, voltando da potência para raiz:
f'(x)=\frac{2x^{3}+x}{\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}.
Fatorando x no numerador para uma forma mais compacta:
f'(x)=\frac{x\left(2x^{2}+1\right)}{\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}.

Passo 6

Verificação rápida da validade: o denominador \sqrt{x^{4}+x^{2}+1} nunca é zero para x\in\mathbb{R} (por exemplo, em x=0 vale 1), então a expressão final é válida para todo x\in\mathbb{R}. Bom trabalho — essa é a forma que normalmente se apresenta a derivada numa prova.

Resposta

f'(x)=\frac{x\left(2x^{2}+1\right)}{\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}.

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