QUESTÃO 4(2,5) : Verifique se f(x, y, z)=\operatorname{tg}\left(x y^{2} z^{3}\right) satisfaz a equação x \cdot \frac{\partial f}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=3 z \cdot \frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\tan\!\big(x y^{2} z^{3}\big) e pede para verificar se ela satisfaz a igualdade
x\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+y\cdot\frac{\partial f}{\partial y}=3z\cdot\frac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=\tan(u) com u=x y^{2} z^{3} (peguei essa expressão do enunciado).
  • Precisa-se calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z} e comparar os dois lados da igualdade pedida.
  • Não há restrição explícita sobre x,y,z no enunciado, então a verificação é para pontos onde f está bem definida (ou seja, onde \cos(u)\neq0).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado devagar): quando uma função depende de outras funções, usa-se a regra da cadeia para derivar. Se f(x,y,z)=g\big(u(x,y,z)\big), então
\frac{\partial f}{\partial x}=g'\big(u(x,y,z)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui g(t)=\tan t e u(x,y,z)=x y^{2} z^{3}. A derivada de g é
g'(t)=\frac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^{2}t,
onde \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. Em outras palavras, ao derivar \tan(u) em relação a x multiplicamos \operatorname{sec}^{2}(u) pela derivada de u em relação a x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u(x,y,z)=x y^{2} z^{3}. Tratamos x,y,z como variáveis independentes e aplicamos a regra do produto/potência:
  • Derivando em relação a x, y e z temos:
\frac{\partial u}{\partial x}=y^{2} z^{3}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=2x y z^{3}, \quad \frac{\partial u}{\partial z}=3x y^{2} z^{2}.
Explicando um por um: por exemplo, ao derivar x y^{2} z^{3} em relação a y consideramos x e z constantes, então a derivada de y^{2} é 2y, dando 2x y z^{3}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x,y,z)=\tan(u). Usando g'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u) e os \partial u/\partial\cdot calculados:
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot y^{2} z^{3},
\frac{\partial f}{\partial y}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 2x y z^{3},
\frac{\partial f}{\partial z}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial z} =\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 3x y^{2} z^{2}.
Cada uma dessas iguais vem direto de f_{*} = \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot u_{*}, ou seja, multiplicando \operatorname{sec}^{2}(u) pela respectiva derivada parcial de u.

Passo 5

Calculemos o lado esquerdo da igualdade pedida: x\cdot f_{x}+y\cdot f_{y}.
Substituindo as derivadas:
x\cdot\frac{\partial f}{\partial x} = x\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot y^{2} z^{3} = \operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot x y^{2} z^{3},
y\cdot\frac{\partial f}{\partial y} = y\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 2x y z^{3} = \operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 2x y^{2} z^{3}.
Somando:
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y} = \operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\big(x y^{2} z^{3}+2x y^{2} z^{3}\big) = \operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 3x y^{2} z^{3}.

Passo 6

Agora o lado direito: 3z\cdot f_{z}.
Substituindo f_{z}:
3z\cdot\frac{\partial f}{\partial z} = 3z\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 3x y^{2} z^{2} = \operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big)\cdot 9x y^{2} z^{3}.
Observe que apareceu o fator 9 aqui, enquanto no lado esquerdo apareceu 3.

Passo 7

Compare os dois lados. Obtivemos:
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y} = 3x y^{2} z^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big),
3z\frac{\partial f}{\partial z} = 9x y^{2} z^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big).
Para que essas duas expressões sejam iguais seria necessário que
3x y^{2} z^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big) =9x y^{2} z^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big).
Cancelando o fator comum \operatorname{sec}^{2}\big(x y^{2} z^{3}\big) (que não é zero quando definida) obtemos 3x y^{2} z^{3}=9x y^{2} z^{3}, o que só é verdade se x y^{2} z^{3}=0.

Passo 8

Interpretação final: a igualdade pedida não é verdadeira em geral. Ela só se verifica nos pontos onde x y^{2} z^{3}=0, ou seja, quando pelo menos uma das coordenadas é zero ( x=0 ou y=0 ou z=0), porque nesses pontos ambos os lados ficam iguais a zero. Para pontos gerais (com x y^{2} z^{3}\neq0 e \cos(x y^{2} z^{3})\neq0) os lados são diferentes (um é três vezes o outro).

Resposta

Não — em geral a igualdade não vale.
De fato,
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y} =3x y^{2} z^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big),
enquanto
3z\frac{\partial f}{\partial z}=9x y^{2} z^{3}\operatorname{sec}^{2}\!\big(x y^{2} z^{3}\big),
logo são iguais apenas quando x y^{2} z^{3}=0 (isto é, quando x=0 ou y=0 ou z=0).

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