QUESTÃO
: Verifique se
satisfaz a equação
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela satisfaz a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
com (peguei essa expressão do enunciado). - Precisa-se calcular as derivadas parciais
, e e comparar os dois lados da igualdade pedida. - Não há restrição explícita sobre
no enunciado, então a verificação é para pontos onde está bem definida (ou seja, onde ).
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado devagar): quando uma função depende de outras funções, usa-se a regra da cadeia para derivar. Se
, então
Aqui
e
. A derivada de
é
onde
. Em outras palavras, ao derivar
em relação a
multiplicamos
pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Tratamos
como variáveis independentes e aplicamos a regra do produto/potência:
- Derivando em relação a
, e temos:
Explicando um por um: por exemplo, ao derivar
em relação a
consideramos
e
constantes, então a derivada de
é
, dando
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
. Usando
e os
calculados:
Cada uma dessas iguais vem direto de
, ou seja, multiplicando
pela respectiva derivada parcial de
.
Passo 5
Calculemos o lado esquerdo da igualdade pedida:
.
Substituindo as derivadas:
Substituindo as derivadas:
Somando:
Passo 6
Agora o lado direito:
.
Substituindo :
Substituindo
Observe que apareceu o fator
aqui, enquanto no lado esquerdo apareceu
.
Passo 7
Compare os dois lados. Obtivemos:
Para que essas duas expressões sejam iguais seria necessário que
Cancelando o fator comum
(que não é zero quando definida) obtemos
, o que só é verdade se
.
Passo 8
Interpretação final: a igualdade pedida não é verdadeira em geral. Ela só se verifica nos pontos onde
, ou seja, quando pelo menos uma das coordenadas é zero (
ou
ou
), porque nesses pontos ambos os lados ficam iguais a zero. Para pontos gerais (com
e
) os lados são diferentes (um é três vezes o outro).
Resposta
Não — em geral a igualdade não vale.
De fato,
De fato,
enquanto
logo são iguais apenas quando
(isto é, quando
ou
ou
).