Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
está escrita como produto de três fatores:
,
e
.
A tarefa é determinar , a derivada de
em termos de
.
A tarefa é determinar
Passo 2
Vamos usar a regra do produto estendida para três fatores. A regra do produto para duas funções
e
diz que
Para três funções
,
,
a regra é análoga; pode-se aplicar a regra das duas funções duas vezes ou memorizar a forma:
Isto significa que derivamos cada fator uma vez (mantendo os outros dois intactos) e somamos os três termos resultantes. Vou aplicar isso aos três fatores do enunciado.
Passo 3
Identifico os três fatores e calculo a derivada de cada um usando regras básicas (regra do poder:
; derivada de função linear
é
):
Defino
Derivadas:
Passo 4
Aplico a regra do produto para três funções:
Substituindo
e suas derivadas:
Esse é um bom ponto: temos a forma correta em termos dos três termos que somam. Agora vou expandir cada termo separadamente para poder somá-los e coletar termos semelhantes.
Passo 5
Expando o primeiro termo
Calculo
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Expando o segundo termo
Calculo
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Expando o terceiro termo
Primeiro
.
Multiplico por :
Multiplico por
Fazendo as multiplicações:
Passo 8
Agora somo os três termos expandidos
. Somando coeficientes de potência a potência:
coeficiente de :
.\n
coeficiente de :
.\n
coeficiente de :
.\n
coeficiente de :
.\n
coeficiente de :
.\n
termo constante: .
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
termo constante: