Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\left(x^{2}-1\right)(3 x-1)\left(5 x^{3}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}-1\right)(3x-1)\left(5x^{3}+2x\right).
Informações dadas:
\;f(x) está escrita como produto de três fatores: \left(x^{2}-1\right), \left(3x-1\right) e \left(5x^{3}+2x\right).
A tarefa é determinar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto estendida para três fatores. A regra do produto para duas funções u(x) e v(x) diz que
(uv)'=u'v+uv'.
Para três funções u(x), v(x), w(x) a regra é análoga; pode-se aplicar a regra das duas funções duas vezes ou memorizar a forma:
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'.
Isto significa que derivamos cada fator uma vez (mantendo os outros dois intactos) e somamos os três termos resultantes. Vou aplicar isso aos três fatores do enunciado.

Passo 3

Identifico os três fatores e calculo a derivada de cada um usando regras básicas (regra do poder: \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}; derivada de função linear ax+b é a):
Defino
u(x)=x^{2}-1,\qquad v(x)=3x-1,\qquad w(x)=5x^{3}+2x.
Derivadas:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}-1\right)=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\left(3x-1\right)=3,
w'(x)=\frac{d}{dx}\left(5x^{3}+2x\right)=15x^{2}+2.

Passo 4

Aplico a regra do produto para três funções:
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).
Substituindo u,v,w e suas derivadas:
f'(x)=2x(3x-1)(5x^{3}+2x)+3(x^{2}-1)(5x^{3}+2x)+(x^{2}-1)(3x-1)(15x^{2}+2).
Esse é um bom ponto: temos a forma correta em termos dos três termos que somam. Agora vou expandir cada termo separadamente para poder somá-los e coletar termos semelhantes.

Passo 5

Expando o primeiro termo
T_{1}=2x(3x-1)(5x^{3}+2x).
Calculo (3x-1)(5x^{3}+2x):
(3x-1)(5x^{3}+2x)=15x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-2x.
Multiplicando por 2x:
T_{1}=2x\,(15x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-2x)=30x^{5}-10x^{4}+12x^{3}-4x^{2}.

Passo 6

Expando o segundo termo
T_{2}=3(x^{2}-1)(5x^{3}+2x).
Calculo (x^{2}-1)(5x^{3}+2x):
(x^{2}-1)(5x^{3}+2x)=5x^{5}-3x^{3}-2x.
Multiplicando por 3:
T_{2}=3(5x^{5}-3x^{3}-2x)=15x^{5}-9x^{3}-6x.

Passo 7

Expando o terceiro termo
T_{3}=(x^{2}-1)(3x-1)(15x^{2}+2).
Primeiro (x^{2}-1)(3x-1)=3x^{3}-x^{2}-3x+1.
Multiplico por (15x^{2}+2):
T_{3}=(3x^{3}-x^{2}-3x+1)(15x^{2}+2).
Fazendo as multiplicações:
T_{3}=45x^{5}-15x^{4}-39x^{3}+13x^{2}-6x+2.

Passo 8

Agora somo os três termos expandidos T_{1}+T_{2}+T_{3}. Somando coeficientes de potência a potência:
coeficiente de \,x^{5}\,: 30+15+45=90.\n
coeficiente de \,x^{4}\,: -10+0-15=-25.\n
coeficiente de \,x^{3}\,: 12-9-39=-36.\n
coeficiente de \,x^{2}\,: -4+0+13=9.\n
coeficiente de \,x^{1}\,: 0-6-6=-12.\n
termo constante: 0+0+2=2.

Resposta

f'(x)=90x^{5}-25x^{4}-36x^{3}+9x^{2}-12x+2

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