Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{3}\left(\frac{5 x+3}{5 x-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{3}\left(\frac{5 x+3}{5 x-3}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é uma constante \frac{2}{3} multiplicando uma razão \frac{5x+3}{5x-3}.
  • O denominador 5x-3 não pode ser zero, então o domínio (onde a derivada pode ser calculada) exclui x=\frac{3}{5}.
  • Objetivo: encontrar a expressão para \mathrm{f}'(\mathrm{x}) (a derivada em função de x).

Passo 2

Vamos escolher o método. Como a função é uma constante multiplicando uma razão, a forma mais direta é usar a regra do fator constante (derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x)) combinada com a regra do quociente para g(x)=\dfrac{5x+3}{5x-3}. Essa escolha é natural e eficiente — outras formas (por exemplo, reescrever como produto de 5x+3 com (5x-3)^{-1} e usar regra do produto + cadeia) dão o mesmo resultado, mas a combinação fator-constante + quociente é mais direta aqui.
Vou explicar as regras que vou usar:
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é diferenciável, então (c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x).
  • Regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}.
Aqui u' significa \frac{d}{dx}u(x) e v' significa \frac{d}{dx}v(x). A ideia intuitiva: derivada do quociente combina como a variação do numerador e do denominador, com cuidado para a divisão (por isso aparece v^2 no denominador).

Passo 3

Identificamos u e v para aplicar a regra do quociente:
u(x) = 5x+3,\qquad v(x)=5x-3.
Agora calculamos u'(x) e v'(x). Regra básica: a derivada de uma reta ax+b é a.
u'(x)=5,\qquad v'(x)=5.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}:
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}.
Substituindo u,u',v,v':
g'(x)=\frac{5\cdot(5x-3)-(5x+3)\cdot 5}{(5x-3)^2}.

Passo 5

Desenvolvendo o numerador passo a passo:
5\cdot(5x-3)=25x-15,
(5x+3)\cdot 5=25x+15.
Portanto o numerador fica
25x-15 - (25x+15) = 25x-15-25x-15 = -30.
Assim
g'(x)=\frac{-30}{(5x-3)^2}.

Passo 6

Voltamos ao fator constante \frac{2}{3}. Pela regra do fator constante,
\mathrm{f}'(x)=\frac{2}{3}\,g'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{-30}{(5x-3)^2}.
Agora simplificamos a multiplicação de constantes:
\frac{2}{3}\cdot(-30) = -\frac{60}{3} = -20.
Logo
\mathrm{f}'(x) = -\frac{20}{(5x-3)^2}.

Passo 7

Observação final sobre domínio: a expressão da derivada é válida para todos os x tais que 5x-3\neq 0, ou seja x\neq\frac{3}{5}. Isso coincide com a exclusão do ponto onde a função original não está definida.

Resposta

\mathrm{f}'(x)=-\dfrac{20}{(5x-3)^2}

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