Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é uma constante
multiplicando uma razão . - O denominador
não pode ser zero, então o domínio (onde a derivada pode ser calculada) exclui . - Objetivo: encontrar a expressão para
(a derivada em função de ).
Passo 2
Vamos escolher o método. Como a função é uma constante multiplicando uma razão, a forma mais direta é usar a regra do fator constante (derivada de
é
) combinada com a regra do quociente para
. Essa escolha é natural e eficiente — outras formas (por exemplo, reescrever como produto de
com
e usar regra do produto + cadeia) dão o mesmo resultado, mas a combinação fator-constante + quociente é mais direta aqui.
Vou explicar as regras que vou usar:
- Regra do fator constante: se
é constante e é diferenciável, então . - Regra do quociente: se
e são diferenciáveis e , então
Aqui
significa
e
significa
. A ideia intuitiva: derivada do quociente combina como a variação do numerador e do denominador, com cuidado para a divisão (por isso aparece
no denominador).
Passo 3
Identificamos
e
para aplicar a regra do quociente:
Agora calculamos
e
. Regra básica: a derivada de uma reta
é
.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente para
:
Substituindo
:
Passo 5
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
Portanto o numerador fica
Assim
Passo 6
Voltamos ao fator constante
. Pela regra do fator constante,
Agora simplificamos a multiplicação de constantes:
Logo
Passo 7
Observação final sobre domínio: a expressão da derivada é válida para todos os
tais que
, ou seja
. Isso coincide com a exclusão do ponto onde a função original não está definida.