Usando régua e compasso, desenhe a circunferência inscrita e a circunferência circunscrita a um
Hexágono de lado 3 cm .

Passo 1

O enunciado pede, usando régua e compasso, as duas circunferências associadas a um hexágono regular de lado 3\text{ cm}:
– a circunferência circunscrita, que passa pelos vértices, e
– a circunferência inscrita, que é tangente a cada lado.
Para resolver, vamos:
  1. Construir o hexágono regular de lado \,3\text{ cm}.
  2. Identificar o centro O (circuncentro e incentro).
  3. Desenhar a circunferência de raio 3\text{ cm} (circunscrita).
  4. Calcular o raio da inscrita como distância de O a um lado.
  5. Desenhar a circunferência de raio \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm} (inscrita).

Passo 2

Com régua e compasso, trace um ponto O e, com o compasso ajustado em 3\text{ cm}, faça a circunferência de centro O. Escolha um ponto A sobre ela. Mantendo a abertura de 3\text{ cm}, marque sucessivamente sobre a circunferência os pontos B,C,D,E,F, de modo que cada arco AB,BC,CD,DE,EF,FA tenha mesma amplitude. Una em seguida os pontos consecutivos para formar o hexágono regular ABCDEF.

Passo 3

Como todos os vértices A,B,C,D,E,F estão sobre a circunferência de raio 3\text{ cm} e centro O, essa é precisamente a circunferência circunscrita ao hexágono.

Passo 4

Em um polígono regular, o incentro coincide com o circuncentro, isto é, também é o ponto O. O raio r da circunferência inscrita é a distância de O a qualquer lado, por exemplo o lado AB. Geometricamente, em um hexágono regular de raio R=3\text{ cm} vale
r = R\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = 3\cos\bigl(30^\circ\bigr) = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}.

Passo 5

Com o compasso fixado em O e abertura \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}, trace a circunferência inscrita. Ela será tangente a cada um dos lados do hexágono.

Resposta

Circunscrita: centro O e raio 3\text{ cm}.
Inscrita: centro O e raio \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}.

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