Usando a relação de Stifel, escreva as 7 primeiras linhas do triângulo de Pascal.

Passo 1

O enunciado pede: “Usando a relação de Stifel, escreva as 7 primeiras linhas do triângulo de Pascal.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A relação de Stifel (a ser usada) é \displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} válida para 1\le k\le n-1 e n\ge1.
  • Deve-se escrever as 7 primeiras linhas do triângulo (ou seja, as linhas correspondentes a n=0,1,2,3,4,5,6).

Passo 2

O que significa a relação de Stifel e como ela gera o triângulo:
  • A notação \displaystyle \binom{n}{k} representa o elemento da linha n e coluna k do triângulo (o número de combinações de n elementos tomados k a k).
  • As arestas do triângulo (primeira e última posição de cada linha) valem sempre 1, isto é \displaystyle \binom{n}{0}=1 e \displaystyle \binom{n}{n}=1. Essas são condições-base.
  • A relação de Stifel diz que cada elemento interno é a soma dos dois elementos imediatamente acima dele: \displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}. Isso permite construir as linhas uma a uma, começando da linha n=0.

Passo 3

Linha n=0: só existe \displaystyle \binom{0}{0} e pelas arestas vale
\binom{0}{0}=1.
Logo a primeira linha é 1.

Passo 4

Linha n=1: tem \displaystyle \binom{1}{0}=1 e \displaystyle \binom{1}{1}=1 (arestas).
Portanto a segunda linha é 1\;1.

Passo 5

Linha n=2: arestas \displaystyle \binom{2}{0}=1 e \displaystyle \binom{2}{2}=1. O elemento interno é
\binom{2}{1}=\binom{1}{0}+\binom{1}{1}=1+1=2.
Portanto a terceira linha é 1\;2\;1.

Passo 6

Linha n=3: arestas 1. Os internos:
\binom{3}{1}=\binom{2}{0}+\binom{2}{1}=1+2=3,
\binom{3}{2}=\binom{2}{1}+\binom{2}{2}=2+1=3.
Portanto a quarta linha é 1\;3\;3\;1.

Passo 7

Linha n=4: arestas 1. Os internos:
\binom{4}{1}=\binom{3}{0}+\binom{3}{1}=1+3=4,
\binom{4}{2}=\binom{3}{1}+\binom{3}{2}=3+3=6,
\binom{4}{3}=\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=3+1=4.
Portanto a quinta linha é 1\;4\;6\;4\;1.

Passo 8

Linha n=5: arestas 1. Os internos:
\binom{5}{1}=\binom{4}{0}+\binom{4}{1}=1+4=5,
\binom{5}{2}=\binom{4}{1}+\binom{4}{2}=4+6=10,
\binom{5}{3}=\binom{4}{2}+\binom{4}{3}=6+4=10,
\binom{5}{4}=\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5.
Portanto a sexta linha é 1\;5\;10\;10\;5\;1.

Passo 9

Linha n=6: arestas 1. Os internos:
\binom{6}{1}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}=1+5=6,
\binom{6}{2}=\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=5+10=15,
\binom{6}{3}=\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20,
\binom{6}{4}=\binom{5}{3}+\binom{5}{4}=10+5=15,
\binom{6}{5}=\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6.
Portanto a sétima linha é 1\;6\;15\;20\;15\;6\;1.

Passo 10

Dica rápida para a prova: comece pelo topo 1, use as arestas 1 e aplique sempre \displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} para preencher os internos. A simetria das linhas ajuda — normalmente é suficiente calcular até o meio da linha e repetir.

Resposta

1
1\;1
1\;2\;1
1\;3\;3\;1
1\;4\;6\;4\;1
1\;5\;10\;10\;5\;1
1\;6\;15\;20\;15\;6\;1

Exercícios relacionados