Usando Scilab, otimize os problemas de PL dados a seguir:
Modelo primal
\begin{aligned} \text { Min } Z & =5 x_{1}+x_{2}+x_{3}+3 x_{4} \\\ \text { sujeito } & : \\\ \text { a } & \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+5 x_{4} & \geq 16 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & \geq 13 \\\ x_{i} & \geq 0,1 \leq i \leq 4 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de programação linear no modelo primal de minimização:
Minimizar
Z = 5x_{1} + x_{2} + x_{3} + 3x_{4}
sujeito a
\begin{cases} 2x_{1} + 3x_{2} + 5x_{3} + 5x_{4} \ge 16,\\\\ 3x_{1} + 4x_{2} + x_{3} + 2x_{4} \ge 13,\\\ x_{i}\ge 0,\;i=1,\dots,4. \end{cases}
O conteúdo é solução de PL via Scilab, usando a chamada à função glpk. Precisamos montar os vetores e matrizes do problema, indicar os tipos de restrição e chamar glpk no modo de minimização.

Passo 2

Montamos a forma matricial \min c^T x sujeita a Ax \ge b, x\ge0. Em Scilab:
c = \begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 & 5\\\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}16\\\ 13\end{pmatrix}.
Como ambas as restrições são “ \ge”, em glpk usamos ctype \(=\) "LL" (L de “lower bound” em cada linha).

Passo 3

Na sintaxe de Scilab, a chamada fica:
// Vetor de custos
c \(=\) [\(5\); \(1\); \(1\); \(3\)];
// Matriz de coeficientes
A \(=\) [\(2355\); \(3412\)];
// Lado direito
b \(=\) [\(16\); \(13\)];
// Tipo das restrições: 'L' para >\(=\) em cada linha
ctype \(=\) "LL";
// Tipo das variáveis: 'C' para contínua em cada coluna
vartype \(=\) "CCCC";
// Limites inferiores: zero em todas as variáveis
lb \(=\) zeros(\(4,1\));
// Sem limite superior explícito
ub \(=\) [];
// sentido \(=1\) para minimização
sense \(=1\);
// Chamada ao solver glpk
[xopt, fopt] \(=\) glpk(c, A, b, ctype, vartype, lb, ub, sense);

Passo 4

Após executar esse código em Scilab, obtemos a solução ótima armazenada em xopt e o valor objetivo em fopt.

Passo 5

O resultado numérico é
x_{\mathrm{opt}} = \begin{pmatrix} 0 \\\ \displaystyle \frac{49}{17} \\\ \displaystyle \frac{25}{17} \\\\ 0 \end{pmatrix}, \quad Z_{\min} = f_{\mathrm{opt}} = \frac{74}{17} \approx 4,3529.

Resposta

x_{1}=0,\;x_{2}=\tfrac{49}{17},\;x_{3}=\tfrac{25}{17},\;x_{4}=0,\;Z_{\min}=\tfrac{74}{17}\approx 4{,}3529.

Exercícios relacionados