Usando os seguintes dados de isoterma, determine o modelo que melhor descreve os dados obtidos. Assuma que o volume de 1 L de amostra foi utilizada nos experimentos.
mcarvão (g)
A
B
C
D
0
5,8
26
158,2
25,3
0,001
3,9
10,2
26,4
15,89
0,01
0,97
4,33
6,8
13,02
0,1
0,12
2,76
1,33
6,15
0,5
0,022
0,75
0,5
2,1
|
|
||||
| mcarvão (g) | A | B | C | D |
| 0 | 5,8 | 26 | 158,2 | 25,3 |
| 0,001 | 3,9 | 10,2 | 26,4 | 15,89 |
| 0,01 | 0,97 | 4,33 | 6,8 | 13,02 |
| 0,1 | 0,12 | 2,76 | 1,33 | 6,15 |
| 0,5 | 0,022 | 0,75 | 0,5 | 2,1 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
- Pedido: “determine o modelo que melhor descreve os dados obtidos.” Ou seja, entre modelos de isoterma comuns (vamos testar Langmuir e Freundlich), descobrir qual descreve melhor cada conjunto de dados A, B, C e D.
- Dados fornecidos (assumi que a linha com massa
corresponde à concentração inicial de cada experimento, já que sem carvão a concentração permanece igual): - Volume usado:
(dado do enunciado). - Para cada coluna A, B, C, D temos a sequência de concentrações de equilíbrio
(em ) correspondente às massas de carvão dadas na primeira coluna.
- Volume usado:
- Vou trabalhar com os quatro conjuntos A, B, C, D separadamente e comparar dois modelos clássicos:
- Langmuir (na forma linearizada)
- Freundlich (na forma linearizada)
- Observação: não há nada mais no enunciado (por exemplo, temperatura), então trabalho com os dados tal como estão.
Passo 2
Transformação necessária: cálculo de
(quantidade adsorvida por grama de carvão) a partir de
,
, volume
e massa
.
- Fórmula usada (razão de balanço de massa simples):
onde
-
é a massa do soluto adsorvida por grama de adsorvente em , -
é a concentração inicial em , -
é a concentração de equilíbrio em , -
é o volume da amostra em (aqui ), -
é a massa de carvão em .
Como
, fica simplesmente
. Usei essa fórmula para obter
para cada ponto (exceto a linha
, que dá o
). Os resultados (apenas os valores finais usados nas regressões) foram:
-
Conjunto A (
): -
-
Conjunto B (
): -
-
Conjunto C (
): -
-
Conjunto D (
): -
(Expliquei o cálculo; se quiser eu mostro cada subtração/divisão em detalhe, mas por questão de espaço resumi os resultados numéricos usados nas regressões.)
Passo 3
Modelos a testar e suas formas linearizadas (explicação didática).
-
Langmuir (hipótese: adsorção monomolecular em sítios finitos, máxima capacidade finita):
forma não-linear:.
linearizamos na forma clássica de dupla recíproca:- Aqui
é a capacidade máxima (mg/g) e é a constante de afinidade ( ). - Se fizermos uma regressão linear com
e , a inclinação dá e o intercepto dá . - Importante: para ser fisicamente aceitável precisamos de
e (logo intercepto e inclinação devem ser positivos).
- Aqui
-
Freundlich (hipótese empírica para superfícies heterogêneas):
forma não-linear:.
linearizando com logaritmo natural:- Aqui
(constante de capacidade) e (intensidade de adsorção) são ajustados por regressão linear de contra . - Valores típicos:
indica favorabilidade; indica curva desfavorável, mas matematicamente o ajuste ainda é válido.
- Aqui
Passo 4
Como eu ajustei (explicando regressão linear simples que usei): para cada linearização fiz uma regressão por mínimos quadrados com as fórmulas clássicas:
- Dados
pontos . - Soma
, , , . - Inclinação
. - Intercepto
. - Coeficiente de determinação
com e .
Fiz isso para as duas linearizações em cada conjunto de dados. Abaixo eu resumo os resultados numéricos obtidos (mostro parâmetros e
). Para cada conjunto comparei:
- se Langmuir produzia parâmetros fisicamente aceitáveis (
); - e qual ajuste apresenta maior
.
Passo 5
Resultados do ajuste para o conjunto A (valores calculados)
-
Langmuir (linear em
vs ): - ajuste linear forneceu:
. - disso:
,
-
.
- ajuste linear forneceu:
-
Freundlich (linear em
vs ): - ajuste linear:
- disso:
-
- ajuste linear:
-
Interpretação para A: ambos os modelos ajustam muito bem (ambos
≈ 0,9996–0,9997). Os parâmetros Langmuir são positivos (físicos) e o Freundlich tem . O Freundlich tem ligeiramente maior; portanto, estatisticamente, Freundlich vence por pequena margem para A.
Passo 6
Resultados do ajuste para o conjunto B
-
Langmuir:
- ajuste linear deu intercepto negativo (
), o que implica (valor físico impossível). - apesar do
, o parâmetro físico é negativo; portanto o ajuste linearizado Langmuir é fisicamente inválido (não aceitamos ).
- ajuste linear deu intercepto negativo (
-
Freundlich:
- ajuste linear:
-
-
- ajuste linear:
-
Interpretação para B: embora a regressão Langmuir aparentasse bom
, ela produziu negativo (inaceitável fisicamente). Portanto descartamos Langmuir e aceitamos Freundlich como modelo válido para B.
Passo 7
Resultados do ajuste para o conjunto C
-
Langmuir:
- o ajuste linearizado resultou em intercepto negativo (
), logo negativo — solução fisicamente inválida. -
do ajuste Langmuir ficou em torno de , mas com rejeitamos pelo mesmo motivo.
- o ajuste linearizado resultou em intercepto negativo (
-
Freundlich:
- ajuste linear:
-
-
- ajuste linear:
-
Interpretação para C: Freundlich fornece ajuste excelente (
) e parâmetros físicos; Langmuir produceu , portanto Freundlich é o modelo escolhido.
Passo 8
Resultados do ajuste para o conjunto D
-
Langmuir:
- ajuste linear deu intercepto ligeiramente negativo (
), implicando (inaceitável fisicamente), embora o fosse muito alto (~0,99999). - Já que um parâmetro essencial tem sinal físico errado, o modelo linearizado Langmuir é rejeitado neste ajuste.
- ajuste linear deu intercepto ligeiramente negativo (
-
Freundlich:
- ajuste linear:
-
-
- ajuste linear:
-
Interpretação para D: apesar do alto
numéricamente para a linearização de Langmuir, o sinal negativo de torna o ajuste fisicamente inaceitável. Portanto adotamos Freundlich para D (mesmo com menor, ele produz parâmetros físicos).
Passo 9
Resumo da comparação e critério final de escolha
-
Critério aplicado: além do ajuste estatístico (
), verifiquei a aceitabilidade física dos parâmetros. Um modelo que ajusta bem mas dá ou é rejeitado porque não faz sentido físico para uma isoterma de adsorção. -
Resultado por conjunto (modelo escolhido e parâmetros principais, arredondados razoavelmente):
-
A: Freundlich preferido (ligeira vantagem em
); parâmetros:
-
B: Langmuir linearizado gerou
(inválido). Escolhemos Freundlich:
-
C: Freundlich claramente melhor e físico:
-
D: Langmuir linearizado gerou
(inválido). Escolhemos Freundlich:
-
-
Conclusão geral: com os dados fornecidos (e usando as linearizações clássicas), o modelo Freundlich é o único que produz parâmetros fisicamente aceitáveis para todos os quatro conjuntos; por isso é o modelo que melhor descreve os dados coletivamente. Para A e C o ajuste Freundlich é excelente; para B e D o ajuste é menos perfeito numericamente, mas Langmuir linearizado deu parâmetros físicos impossíveis e por isso foi descartado.
Resposta
A: Freundlich —
B: Freundlich —
C: Freundlich —
D: Freundlich —
B: Freundlich —
C: Freundlich —
D: Freundlich —