Questão 4) 50,000 \mathrm{~g} de um sal foram dissolvidos em solução de ácido nítrico em água 1:1 num béquer e totalmente transferidos para um balão volumétrico de 1000,0 \mathrm{~mL} .50,00 \mathrm{~mL} desta solução foram transferidos para um balão de 500,0 \mathrm{~mL}. Foram retirados 20,00 \mathrm{~mL} desta solução e transferidos para um balão de 250 mL . Finalmente 20,00 \mathrm{~mL} desta solução foram transferidos para um balão de 200,0 \mathrm{~mL}. Em todas as etapas foi usado H 2 O como solvente. A leitura desta solução em um espectrômetro de absorção atômica revelou absorbância de 0,1115 . Os padrões do analito foram preparados a partir de uma solução padrão estoque de Fe em ácido nítrico em água 1:1. Assim pergunta-se:
([\mathrm{Fe}] \mathrm{mg} / \mathrm{L}) Absorvância
0,00 (branco) 0,020
1,01 0,068
4,20 0,291
8,01 0,585
12,05 0,875
16,02 1,150
Qual o teor (% m/m) de ferro (Fe) no sal utilizado?

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o teor em porcentagem em massa ( %\;m/m) de ferro ( \mathrm{Fe}) no sal inicial de 50{,}000\\ \mathrm{g}. \n
Dados relevantes extraídos do enunciado: \n
  • Massa do sal inicial: 50{,}000\\ \mathrm{g}. \n
  • O sal foi dissolvido e o volume final do primeiro balão foi 1000{,}0\\ \mathrm{mL}. (Vou chamar essa solução de S0.) \n
  • Foram feitas diluições seriadas: 50{,}00\\ \mathrm{mL} de S0 → balão de 500{,}0\\ \mathrm{mL} (solução S1); 20{,}00\\ \mathrm{mL} de S1 → balão de 250\\ \mathrm{mL} (S2); 20{,}00\\ \mathrm{mL} de S2 → balão de 200{,}0\\ \mathrm{mL} (S3, a solução medida). Em todas as etapas completou-se com água. \n
  • A absorbância medida da solução final (S3) foi 0{,}1115. \n
  • Tabela de padrões (concentração de Fe em \mathrm{mg/L} vs absorbância): \n
    \begin{array}{|c|c|} \hline [\mathrm{Fe}]\\ (\mathrm{mg/L}) & \text{Absorvância} \\\ \hline 0{,}00 & 0{,}020 \\\ \hline 1{,}01 & 0{,}068 \\\ \hline 4{,}20 & 0{,}291 \\\ \hline 8{,}01 & 0{,}585 \\\ \hline 12{,}05 & 0{,}875 \\\ \hline 16{,}02 & 1{,}150 \\\ \hline \end{array} \n
  • Precisamos usar essa curva de calibração para converter a absorbância medida em concentração de \mathrm{Fe} na solução S3, e então “voltar” pelas diluições para achar a massa total de Fe que estava nos 50{,}000\\ \mathrm{g} de sal e calcular %\;m/m. \n

Passo 2

Conceito que vamos usar (aulas rápidas e práticas): lei de Beer (calibração por regressão linear). \n
  • A espectrometria de absorção obedece, em faixa linear, a uma relação do tipo \displaystyle A = a + b\,c, onde \displaystyle A é a absorbância medida, \displaystyle c é a concentração do analito ( \mathrm{Fe}) em \mathrm{mg/L}, b é a inclinação (sensibilidade) e a é o intercepto (desvio instrumental/offset). \n
  • Para transformar uma absorbância em concentração usa-se a equação da reta calibrada: \displaystyle c = \frac{A - a}{b}. \n
  • Podemos obter a e b ajustando uma reta por mínimos quadrados aos pares (c_i,A_i) dos padrões. Esse ajuste é a forma mais usada porque considera todos os pontos (melhor que usar só dois pontos). \n
    Vou aplicar a regressão linear (método dos mínimos quadrados) aos 6 pontos da tabela para obter a e b. Mostro as fórmulas e os cálculos numéricos detalhados para você conseguir reproduzir na prova. \n

Passo 3

Cálculo dos parâmetros da regressão linear (fórmulas). \n
  • Temos n=6 pontos. Denotando x_i as as concentrações padrões ( \mathrm{mg/L}) e y_i como as absorbâncias, as fórmulas para coeficiente angular b e intercepto a são: \n
b = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}
Vou calcular as somas necessárias a partir da tabela. \n

Passo 4

Cálculo das somas (numericamente, com atenção): \n
  • Valores x_i (mg/L): 0{,}00,\;1{,}01,\;4{,}20,\;8{,}01,\;12{,}05,\;16{,}02. \n
  • Valores y_i (abs): 0{,}020,\;0{,}068,\;0{,}291,\;0{,}585,\;0{,}875,\;1{,}150. \n
    Agora as somas (calculei com cuidado): \n
\sum x_i = 41{,}29
\sum y_i = 2{,}989
\sum x_i y_i = 34{,}94363
\sum x_i^2 = 484{,}6631
(Se quiser conferir, calcule cada x_i y_i e cada x_i^2 e some.) \n

Passo 5

Aplicando as fórmulas da regressão: \n
Calcule b: \n
b = \frac{6\cdot 34{,}94363 - 41{,}29\cdot 2{,}989}{6\cdot 484{,}6631 - (41{,}29)^2}
Faço as multiplicações: \n
6\cdot 34{,}94363 = 209{,}66178
41{,}29\cdot 2{,}989 = 123{,}41581
6\cdot 484{,}6631 = 2{,}907{,}9786
(41{,}29)^2 = 1{,}704{,}0641
Então
b = \frac{209{,}66178 - 123{,}41581}{2{,}907{,}9786 - 1{,}704{,}0641} = \frac{86{,}24597}{1{,}203{,}9145} \approx 0{,}071612
Agora o intercepto a: \n
a = \frac{2{,}989 - 0{,}071612\cdot 41{,}29}{6}
0{,}071612\cdot 41{,}29 \approx 2{,}956856
a = \frac{2{,}989 - 2{,}956856}{6} = \frac{0{,}032144}{6} \approx 0{,}005357
Portanto a curva de calibração ajustada é (aproximando):
A \approx 0{,}005357 + 0{,}071612\; c
onde c está em \mathrm{mg/L}. \n
Observação de didática: se alguém subtrai o branco e força a reta pela origem, obtém uma inclinação parecida, mas o ajuste por mínimos quadrados com intercepto é mais rigoroso quando o zero experimental (branco) não coincide exatamente com a média dos erros instrumentais. Por isso usei os 6 pontos completos. \n

Passo 6

Converter a absorbância medida em concentração na solução final (S3). \n
  • Medida: A_{\text{med}} = 0{,}1115. Usamos \displaystyle c = \frac{A - a}{b}. \n
c_{\mathrm{S3}} = \frac{0{,}1115 - 0{,}005357}{0{,}071612} = \frac{0{,}106143}{0{,}071612} \approx 1{,}4829\\ \mathrm{mg/L}
Interpretação: a solução que foi medida (S3, o balão de 200{,}0\\ \mathrm{mL}) tem concentração de ferro aproximadamente 1{,}483\\ \mathrm{mg/L}. \n

Passo 7

Voltar pelas diluições para achar a concentração na solução original S0 (o balão de 1000{,}0\\ \mathrm{mL}). \n
  • Razões das diluições: \n
    • S0 → S1: 50{,}00\\ \mathrm{mL} para 500{,}0\\ \mathrm{mL} → fator 50{,}00/500{,}0 = 0{,}100. Logo C_{1} = C_{0}\cdot 0{,}100. \n
    • S1 → S2: 20{,}00\\ \mathrm{mL} para 250\\ \mathrm{mL} → fator 20{,}00/250 = 0{,}080. Então C_{2} = C_{1}\cdot 0{,}080. \n
    • S2 → S3: 20{,}00\\ \mathrm{mL} para 200{,}0\\ \mathrm{mL} → fator 20{,}00/200{,}0 = 0{,}100. Então C_{3} = C_{2}\cdot 0{,}100. \n
  • Combinando: C_{3} = C_{0}\cdot 0{,}100\cdot 0{,}080\cdot 0{,}100 = C_{0}\cdot 0{,}0008. \n
Logo C_{0} = \frac{C_{3}}{0{,}0008} = C_{3}\times 1250.
Substituindo C_{3}=1{,}4829\\ \mathrm{mg/L}: C_{0} = 1{,}4829\times 1250 = 1{,}853{,}625\\ \mathrm{mg/L}.
(Isto é a concentração de Fe na solução original S0, em \mathrm{mg/L}.) \n

Passo 8

Determinar a massa total de Fe presente nos 1000{,}0\\ \mathrm{mL} da solução S0 e converter para porcentagem no sal. \n
  • Massa de Fe em S0 (que tem volume 1000{,}0\\ \mathrm{mL}=1{,}000\\ \mathrm{L}) é: m_{\mathrm{Fe}} = C_{0}\times 1{,}000\\ \mathrm{L} = 1{,}853{,}625\\ \mathrm{mg} = 1853{,}625\\ \mathrm{mg}.
Convertendo para gramas: 1853{,}625\\ \mathrm{mg} = 1{,}853625\\ \mathrm{g}. \n
  • Percentual \%\,m/m = \frac{\text{massa de Fe}}{\text{massa do sal}} \times 100\%. Substituindo: \%\,m/m = \frac{1{,}853625\\ \mathrm{g}}{50{,}000\\ \mathrm{g}}\times 100\% = 3{,}70725\%.
Arredondando conforme precisão prática dos dados (valores medidos com 3–4 algarismos significativos na absorbância), podemos apresentar o resultado com três algarismos significativos: 3{,}71\%. \n
Observação: se você preferir manter maior precisão aritmética, o valor não arredondado é 3{,}70725\%. \n

Resposta

3{,}71\%

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