Usando a Série de Taylor/Maclaurin encontre:
o valor de \cos 4^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \cos4^\circ usando a expansão de Maclaurin (Série de Taylor em torno de zero) da função cosseno. Vamos precisar:
  1. Converter o ângulo de graus para radianos.
  2. Escrever a série de Maclaurin de \cos x.
  3. Avaliar a série até termos suficientemente pequenos.

Passo 2

Primeiro convertemos 4^\circ em radianos:
x = 4^\circ = \frac{4\pi}{180} = \frac{\pi}{45}\approx 0,06981\\ (\text{rad}).
A série de Maclaurin de \cos x é
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots.

Passo 3

Vamos calcular os primeiros potências de x:
x^2 = \Bigl(\frac{\pi}{45}\Bigr)^2\approx 0,004874, \quad x^4 = (x^2)^2\approx 0,00002377, \quad x^6 = x^4\cdot x^2\approx 1,158\times10^{-7},
e negligenciamos x^8 e ordenadas superiores por serem muito pequenos.

Passo 4

Substituindo na série até o termo em x^6:
\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}.
Em números:
-\frac{x^2}{2!}\approx -\frac{0,004874}{2}=-0,002437, \quad \frac{x^4}{4!}\approx \frac{0,00002377}{24}=0,00000099, \quad -\frac{x^6}{6!}\approx -\frac{1,158\times10^{-7}}{720}=-1,61\times10^{-10}.

Passo 5

Somando:
\cos4^\circ=\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{45}\Bigr) \approx 1 - 0,002437 + 0,00000099 - 1,61\times10^{-10} \approx 0,99756405.

Resposta

\displaystyle \cos4^\circ\approx 0,99756405

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