Usando o símbolo de Levi-Civita, mostre as seguintes identidades:
,
Passo 1
A questão pede para mostrar a identidade vetorial
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial usando notação de índices e o símbolo de Levi-Civita. Vamos precisar da representação em índices, da regra de produto, e da identidade de contração
Passo 2
Escrevemos o lado esquerdo em índices. O i-ésimo componente de
é
E sabemos que
Passo 3
Substituímos e aplicamos a contração de Levi-Civita:
Logo,
Passo 4
Aplicamos a regra do produto em cada termo:
Então
Passo 5
Agora reconhecemos as operações vetoriais:
,
,
,
.
Substituindo em notação vetorial:
Substituindo em notação vetorial:
Passo 6
Para relacionar com a forma do enunciado, note que o operador
age de modo análogo a
quando aplicado em
, dando o mesmo termo final. Portanto chegamos à identidade desejada.