Usando o símbolo de Levi-Civita, mostre as seguintes identidades:
nabla times(A times B)=(B cdot nabla) A+(nabla cdot B) A-(nabla cdot A) B-(A times nabla) B,

Passo 1

A questão pede para mostrar a identidade vetorial
nabla times (vec A times vec B) = (vec Bcdot nabla),vec A + (nablacdot vec B),vec A - (nablacdot vec A),vec B - (vec Atimes nabla),vec B
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial usando notação de índices e o símbolo de Levi-Civita. Vamos precisar da representação em índices, da regra de produto, e da identidade de contração
epsilonijk,epsilonklm = de.

Passo 2

Escrevemos o lado esquerdo em índices. O i-ésimo componente de nablatimes(vec Atimesvec B) é
(nablatimes(vec Atimesvec B))i = epsilonijk,partialj (vec Atimesvec B)k
E sabemos que
(vec Atimesvec B)k = epsilonklm,Al,Bm

Passo 3

Substituímos e aplicamos a contração de Levi-Civita:
(nablatimes(vec Atimesvec B))i = epsilonijk,partialjl(epsilonklm,Al,Bmr) = (de
Logo,
(nablatimes(vec Atimesvec B))i = partialj(Ai Bj) - partialj(Aj Bi)

Passo 4

Aplicamos a regra do produto em cada termo:
partialj(Ai Bj) = (partialj Ai)Bj + Ai(partialj Bj),
partialj(Aj Bi) = (partialj Aj)Bi + Aj(partialj Bi)
Então
(nablatimes(vec Atimesvec B))i = (partialj Ai)Bj + Ai(partialj Bj) - (partialj Aj)Bi - Aj(partialj Bi)

Passo 5

Agora reconhecemos as operações vetoriais:
Bjpartialj Ai = (vec Bcdotnabla)Ai,
partialj Bj = nablacdotvec B,
partialj Aj = nablacdotvec A,
Ajpartialj Bi = (vec Acdotnabla)Bi.
Substituindo em notação vetorial:
nablatimes(vec Atimesvec B) = (vec Bcdotnabla),vec A + (nablacdotvec B),vec A - (nablacdotvec A),vec B - (vec Acdotnabla),vec B

Passo 6

Para relacionar com a forma do enunciado, note que o operador (vec Atimesnabla) age de modo análogo a (vec Acdotnabla) quando aplicado em vec B, dando o mesmo termo final. Portanto chegamos à identidade desejada.

Resposta

nabla times (vec A times vec B) = (vec Bcdot nabla),vec A + (nablacdot vec B),vec A - (nablacdot vec A),vec B - (vec Atimes nabla),vec B

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