(a) Calcule o valores esperados de lang<= rrang<= e psi100, psi210 nos estados psi320 e De.
(b) Mostre que para os três estados do item anterior o desvio radial De definido por
De
resulta em
n infty
Desta forma vemos que para De implica que a0. Este fato revela que para estados muito excitados o elétron tende a se localizar numa esfera de raio proporcional a .

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores esperados de r e r² nos estados ψ₁₀₀, ψ₂₁₀ e ψ₃₂₀ do átomo de hidrogênio e depois mostrar que o desvio radial Δr=√(⟨r²⟩−⟨r⟩²) satisfaz Δr=⟨r⟩/√3 para n=1, Δr=⟨r⟩/√5 para n=2 e Δr=⟨r⟩/√7 para n=3. Vamos usar fórmulas gerais para os valores esperados no átomo de hidrogênio.

Passo 2

Para qualquer estado caracterizado por (n,l) no hidrogênio, há resultados conhecidos que vêm da integração das funções radiais com Laguerre associados. Esses resultados são:
lang<= rrang<= = a02l(3n^2 - l(l+1)r)
lang<= r^2rang<= = a0^22,n^2l(5n^2 + 1 - 3l(l+1)r)

Passo 3

Substituindo em cada caso:
psi100:;n=1,;l=0Rightarrowlang<= rrang<==tfrac32a0,;lang<= r^2rang<==3a0^2
psi210:;n=2,;l=1Rightarrowlang<= rrang<==5a0,;lang<= r^2rang<==30a0^2
psi320:;n=3,;l=2Rightarrowlang<= rrang<==tfrac212a0,;lang<= r^2rang<==126a0^2

Passo 4

Agora o desvio radial é
De
Fazendo a conta em cada estado vemos: para n=1: Δr=(√3/2)a₀=⟨r⟩/√3; para n=2: Δr=√5 {2009}a₀=⟨r⟩/√5; para n=3: Δr=(3√7/2)a₀=⟨r⟩/√7. Isso mostra também que para n→∞ temos Δr/⟨r⟩→0, ou seja, o elétron se localiza cada vez mais num “anél” bem definido.

Resposta

⟨r⟩₁₀₀=3a₀/2, ⟨r²⟩₁₀₀=3a₀²;
⟨r⟩₂₁₀=5a₀, ⟨r²⟩₂₁₀=30a₀²;
⟨r⟩₃₂₀=21a₀/2, ⟨r²⟩₃₂₀=126a₀²;
Δr=⟨r⟩/√3 (n=1), Δr=⟨r⟩/√5 (n=2), Δr=⟨r⟩/√7 (n=3).

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