(a) Calcule o valores esperados de
e
nos estados
e
.
(b) Mostre que para os três estados do item anterior o desvio radial
definido por
resulta em
Desta forma vemos que para
implica que
. Este fato revela que para estados muito excitados o elétron tende a se localizar numa esfera de raio proporcional a
.
(b) Mostre que para os três estados do item anterior o desvio radial
Passo 1
O enunciado pede para calcular os valores esperados de r e r² nos estados ψ₁₀₀, ψ₂₁₀ e ψ₃₂₀ do átomo de hidrogênio e depois mostrar que o desvio radial Δr=√(⟨r²⟩−⟨r⟩²) satisfaz Δr=⟨r⟩/√3 para n=1, Δr=⟨r⟩/√5 para n=2 e Δr=⟨r⟩/√7 para n=3. Vamos usar fórmulas gerais para os valores esperados no átomo de hidrogênio.
Passo 2
Para qualquer estado caracterizado por (n,l) no hidrogênio, há resultados conhecidos que vêm da integração das funções radiais com Laguerre associados. Esses resultados são:
Passo 3
Substituindo em cada caso:
Passo 4
Agora o desvio radial é
Fazendo a conta em cada estado vemos: para n=1: Δr=(√3/2)a₀=⟨r⟩/√3; para n=2: Δr=√5 {2009}a₀=⟨r⟩/√5; para n=3: Δr=(3√7/2)a₀=⟨r⟩/√7. Isso mostra também que para n→∞ temos Δr/⟨r⟩→0, ou seja, o elétron se localiza cada vez mais num “anél” bem definido.
Resposta
⟨r⟩₁₀₀=3a₀/2, ⟨r²⟩₁₀₀=3a₀²;
⟨r⟩₂₁₀=5a₀, ⟨r²⟩₂₁₀=30a₀²;
⟨r⟩₃₂₀=21a₀/2, ⟨r²⟩₃₂₀=126a₀²;
⟨r⟩₂₁₀=5a₀, ⟨r²⟩₂₁₀=30a₀²;
⟨r⟩₃₂₀=21a₀/2, ⟨r²⟩₃₂₀=126a₀²;
Δr=⟨r⟩/√3 (n=1), Δr=⟨r⟩/√5 (n=2), Δr=⟨r⟩/√7 (n=3).