Usando software de simulação numérica, (OCTAVE, MATLAB, SILAB, por exemplo), plotar os diagramas de Bode para
e
dadas abaixo.
Note que
é de fase mínima e
é de fase não mínima. O que notou de diferente?
Passo 1
O exercício pede para plotar, usando um software tipo Octave/MATLAB/SciLab, os diagramas de Bode de
e comentar a diferença entre o sistema de fase mínima (
) e não‐mínima (
).
Conteúdo: Controle clássico, diagrama de Bode, zeros e polos, conceito de fase mínima vs não‐mínima.
O que precisamos: saber definir transfer function no software, comando
Conteúdo: Controle clássico, diagrama de Bode, zeros e polos, conceito de fase mínima vs não‐mínima.
O que precisamos: saber definir transfer function no software, comando
bode
, e entender como zero no semiplano direito afeta a fase.Passo 2
Definindo e plotando
no MATLAB/Octave.
- Abra o Octave/MATLAB e digite:
s = tf('s'); % define a variável s como uma TF
G1 = (1 + s) / (1 + 2*s); % define G1(s)
bode(G1), grid on % plota o diagrama de Bode de G1
- Teoria rápida:
- O diagrama de Bode mostra magnitude em dB vs frequência log, e fase em graus vs frequência.
- Em
temos um zero em (gera até +20 dB/déc. acima de 1 rad/s e +90° de fase) e um polo em (gera -20 dB/déc. acima de 0.5 rad/s e -90° de fase). - Como zero e polo estão no semiplano esquerdo, o sistema é de fase mínima: a fase fica em torno de 0° nas bandas extremas e faz um “bump” positivo entre as frequências de canto.
Passo 3
Definindo e plotando
no MATLAB/Octave.
- No mesmo script ou no prompt:
G2 = (1 - s) / (1 + 2*s); % define G2(s)
bode(G2), grid on % plota o diagrama de Bode de G2
- Teoria:
- Aqui o zero está em
(semiplano direito), ainda temos o mesmo polo em . - Zero em RHP gera magnitude igual ao zero em LHP, mas a fase contribui com -90° em vez de +90°.
- Portanto, o polo dá -90° e o zero RHP mais -90°, somando -180° de offset de fase em alta frequência. Esse comportamento caracteriza fase não‐mínima.
Passo 4
Comparando os diagramas de G1 e G2:
- Magnitude: muito parecidas (mudam em torno das mesmas frequências).
- Fase:
• Ema fase “sobe” até um pico positivo (≈+20…+30°) e depois volta a 0° em alta frequência.
• Ema fase “cai” até cerca de -180° em alta frequência, sem esse pico positivo.
Resposta
A diferença principal é na curva de fase:
-
(fase mínima) apresenta um pico de fase positivo entre os cantos e retorna para 0°. -
(fase não‐mínima) tem um zero no semiplano direito que adiciona -90° de fase, somado ao -90° do polo, resultando em -180° em alta frequência, sem pico positivo.