Usando o STC determine a deflexão do ponto d. Despreze a contribuição da força cortante. Considere
constante.
Problema 4.
Resposta (4.):
Problema 4.
Passo 1
O enunciado pede a deflexão no ponto
(ponta livre) de uma viga em consola de comprimento
sujeita a uma carga distribuída triangular (intensidade máxima
na raiz, decrescendo linearmente até zero na ponta). É indicado usar o STC (Segundo Teorema de Castigliano), desprezando a contribuição do cisalhamento e considerando
constante. Dados relevantes:\n
- comprimento:
\n - carga distribuída: triangular com
e \n - rigidez à flexão:
constante\n - ponto onde se quer a deflexão: ponta livre (ponto
)\n
A resposta final esperada é
Passo 2
Breve aula: Segundo Teorema de Castigliano (versão para deslocamentos)\n
- Se
é a energia de deformação por flexão da viga, então a deflexão vertical no ponto de aplicação de uma força vale\n \n - Para flexão (desprezando cisalhamento) a energia de deformação é\n
\nonde é o momento fletor interno em uma seção a distância da raiz.\n
Método prático: colocar uma força fictícia
para baixo em
(ponta livre). Escrever o momento total em cada seção como soma do momento devido à carga real
e do momento devido à força
, que é proporcional a
. Como a dependência é linear em
obtemos, ao derivar em
e avaliar em
, a expressão simples\n
\nonde
é o momento em
devido a uma carga unitária (
) aplicada em
. Para uma carga unitária para baixo na ponta de uma consola, o momento numa seção a
é simplesmente\n
\pois a distância entre a seção
e a força na ponta é
. Observação: usamos a forma acima porque a derivada de
em relação a
e a avaliação em
dá
.
Passo 3
Modelagem da carga e expressão do momento devido à carga distribuída\n
Defina
medido a partir da raiz fixa (
na raiz,
na ponta). A intensidade da carga triangular é\n
\n
O momento em uma seção a
devido somente à carga distribuída (parte à direita da seção) é dado por (forma geral)\n
\n
Para aplicar o STC substituímos
na integral para
. Assim\n
Passo 4
Troca de ordem de integração (fazer a integral dupla) — técnica que simplifica muito as contas\n
A integral dupla pode ser escrita trocando a ordem de integração como\n
\n
Calcule a integral interior (fixado
):\n
\n
Explicando o cálculo passo a passo:\n
- Expanda o integrando:
.\n - Integre termo a termo de
a :\n \n \n \n \n
Subtraindo/ somando conforme a expansão obtemos\n
Passo 5
Agora volte à integral externa incluindo
. Lembre que
. Assim\n
\n
Expanda o produto dentro da integral:\n
\n
Integre termo a termo de
a
:\n
\n
\n
\n
Somando com os sinais apropriados (note o segundo termo subtrai):\n
Passo 6
Finalmente, lembrando que
vezes a integral que acabamos de calcular, obtemos\n