Usando o STC determine a deflexão do ponto d. Despreze a contribuição da força cortante. Considere \mathrm{EI}_{\mathrm{z}}= constante.
Problema 4.
Resposta (4.): v_{d}=q L^{4} / 30 E I_{z}

Passo 1

O enunciado pede a deflexão no ponto d (ponta livre) de uma viga em consola de comprimento L sujeita a uma carga distribuída triangular (intensidade máxima q na raiz, decrescendo linearmente até zero na ponta). É indicado usar o STC (Segundo Teorema de Castigliano), desprezando a contribuição do cisalhamento e considerando \mathrm{EI}_{z} constante. Dados relevantes:\n
  • comprimento: L\n
  • carga distribuída: triangular com w(0)=q e w(L)=0\n
  • rigidez à flexão: \mathrm{EI}_{z}= constante\n
  • ponto onde se quer a deflexão: ponta livre (ponto d)\n
    A resposta final esperada é \,v_{d}=\dfrac{q L^{4}}{30\,E I_{z}}\,.

Passo 2

Breve aula: Segundo Teorema de Castigliano (versão para deslocamentos)\n
  • Se U é a energia de deformação por flexão da viga, então a deflexão vertical v no ponto de aplicação de uma força P vale\n v=\frac{\partial U}{\partial P}.\n
  • Para flexão (desprezando cisalhamento) a energia de deformação é\n U=\int_{0}^{L}\frac{M^{2}(x)}{2E I_{z}}\,dx,\nonde M(x) é o momento fletor interno em uma seção a distância x da raiz.\n
Método prático: colocar uma força fictícia P para baixo em d (ponta livre). Escrever o momento total em cada seção como soma do momento devido à carga real M_{w}(x) e do momento devido à força P, que é proporcional a P. Como a dependência é linear em P obtemos, ao derivar em P e avaliar em P=0, a expressão simples\n v_{d}=\frac{1}{E I_{z}}\int_{0}^{L} M_{w}(x)\,m(x)\,dx,\nonde m(x) é o momento em x devido a uma carga unitária ( P=1 ) aplicada em d. Para uma carga unitária para baixo na ponta de uma consola, o momento numa seção a x é simplesmente\n m(x)=L-x,\pois a distância entre a seção x e a força na ponta é L-x. Observação: usamos a forma acima porque a derivada de \tfrac{(M_{w}+P m)^2}{2EI} em relação a P e a avaliação em P=0 \int M_{w} m / (EI)\,dx.

Passo 3

Modelagem da carga e expressão do momento devido à carga distribuída\n
Defina x medido a partir da raiz fixa ( x=0 na raiz, x=L na ponta). A intensidade da carga triangular é\n w(x)=q\left(1-\frac{x}{L}\right),\qquad 0\le x\le L.\n
O momento em uma seção a x devido somente à carga distribuída (parte à direita da seção) é dado por (forma geral)\n M_{w}(x)=\int_{x}^{L} w(\xi)\,(\xi-x)\,d\xi.\n
Para aplicar o STC substituímos M_{w}(x) na integral para v_{d}. Assim\n v_{d}=\frac{1}{E I_{z}}\int_{0}^{L} \Bigg[\int_{x}^{L} w(\xi)\,(\xi-x)\,d\xi\Bigg] (L-x)\,dx.

Passo 4

Troca de ordem de integração (fazer a integral dupla) — técnica que simplifica muito as contas\n
A integral dupla pode ser escrita trocando a ordem de integração como\n \int_{0}^{L}\left[\int_{x}^{L} w(\xi)(\xi-x)\,d\xi\right](L-x)\,dx =\int_{0}^{L}\left[\int_{0}^{\xi}(\xi-x)(L-x)\,dx\right] w(\xi)\,d\xi.\n
Calcule a integral interior (fixado \xi):\n J(\xi)=\int_{0}^{\xi}(\xi-x)(L-x)\,dx.\n
Explicando o cálculo passo a passo:\n
  • Expanda o integrando: (\xi-x)(L-x)=\xi L-\xi x-L x+x^{2}.\n
  • Integre termo a termo de 0 a \xi:\n \int_{0}^{\xi}\xi L\,dx=\xi L\cdot\xi=\xi^{2}L,\n \int_{0}^{\xi}\xi x\,dx=\xi\cdot\frac{\xi^{2}}{2}=\frac{\xi^{3}}{2},\n \int_{0}^{\xi}L x\,dx=L\cdot\frac{\xi^{2}}{2}=\frac{L\xi^{2}}{2},\n \int_{0}^{\xi}x^{2}\,dx=\frac{\xi^{3}}{3}.\n
Subtraindo/ somando conforme a expansão obtemos\n J(\xi)=\xi^{2}L-\frac{\xi^{3}}{2}-\frac{L\xi^{2}}{2}+\frac{\xi^{3}}{3}=\frac{L\xi^{2}}{2}-\frac{\xi^{3}}{6}.

Passo 5

Agora volte à integral externa incluindo w(\xi). Lembre que w(\xi)=q\big(1-\dfrac{\xi}{L}\big). Assim\n \int_{0}^{L}\left[\int_{0}^{\xi}(\xi-x)(L-x)\,dx\right] w(\xi)\,d\xi = q\int_{0}^{L}\left(1-\frac{\xi}{L}\right)\left(\frac{L\xi^{2}}{2}-\frac{\xi^{3}}{6}\right)d\xi.\n
Expanda o produto dentro da integral:\n \left(1-\frac{\xi}{L}\right)\left(\frac{L\xi^{2}}{2}-\frac{\xi^{3}}{6}\right) =\frac{L}{2}\xi^{2}-\frac{2}{3}\xi^{3}+\frac{1}{6L}\xi^{4}.\n
Integre termo a termo de 0 a L:\n \int_{0}^{L}\frac{L}{2}\xi^{2}d\xi=\frac{L}{2}\cdot\frac{L^{3}}{3}=\frac{L^{4}}{6},\n \int_{0}^{L}\frac{2}{3}\xi^{3}d\xi=\frac{2}{3}\cdot\frac{L^{4}}{4}=\frac{L^{4}}{6},\n \int_{0}^{L}\frac{1}{6L}\xi^{4}d\xi=\frac{1}{6L}\cdot\frac{L^{5}}{5}=\frac{L^{4}}{30}.\n
Somando com os sinais apropriados (note o segundo termo subtrai):\n q\left(\frac{L^{4}}{6}-\frac{L^{4}}{6}+\frac{L^{4}}{30}\right)=q\frac{L^{4}}{30}.

Passo 6

Finalmente, lembrando que v_{d}=\dfrac{1}{E I_{z}} vezes a integral que acabamos de calcular, obtemos\n v_{d}=\frac{1}{E I_{z}}\cdot q\frac{L^{4}}{30}=\frac{q L^{4}}{30\,E I_{z}}.

Resposta

\displaystyle v_{d}=\frac{q L^{4}}{30\,E I_{z}}

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