*1-52. The bar has a cross-sectional area of 400\left(10^{-6}\right) \mathrm{m}^{2}. If it is subjected to a triangular axial distributed loading along its length which is 0 at x=0 and 9 \mathrm{kN} / \mathrm{m} at x=1.5 \mathrm{~m}, and to two concentrated loads as shown, determine the average normal stress in the bar as a function of x for 0 \leq x<0.6 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (isto é o que temos explicitamente):
  • A área da seção transversal é A=400\left(10^{-6}\right)\\ \mathrm{m}^2.
  • Há uma carga axial distribuída ao longo do comprimento, triangular, que vale 0 em x=0 e 9\\ \mathrm{kN/m} em x=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Existem duas cargas concentradas “como mostrado” no enunciado original — porém a figura que indicaria as magnitudes e as posições dessas duas cargas concentradas não foi enviada aqui.
O que o exercício pede:
  • Determinar a tensão normal média na barra em função de x para 0 \le x < 0{,}6\\ \mathrm{m}.
Observação importante: como as magnitudes e/ou posições das duas cargas concentradas não foram fornecidas (a figura não foi enviada), não é possível obter uma expressão numérica única que inclua o efeito dessas cargas concentradas. Vou então:
  1. explicar o método correto e calcular a contribuição da carga distribuída (isto é determinístico a partir dos dados que temos) e
  2. dar a expressão geral da tensão incluindo símbolos para as cargas concentradas e para qualquer força concentrada aplicada na extremidade x=0. Assim você terá a fórmula pronta — basta substituir as magnitudes/posições que aparecem na figura do enunciado.

Passo 2

Vamos obter a expressão da intensidade da carga distribuída w(x).
A carga é linear (triangular) com w(0)=0 e w(1{,}5)=9\\ \mathrm{kN/m}. A inclinação (coeficiente) é
\frac{9}{1{,}5}=6\quad\text{(em unidades de }\mathrm{kN/m^2}\text{)}.
Portanto, a função ao longo do eixo x é
w(x)=6x\quad\text{(em }\mathrm{kN/m}\text{)}.
Para trabalhar em unidades SI (N/m) multiplico por 1000:
w(x)=6000\,x\quad\text{(em N/m).}
Explicação didática rápida: w(x) é a “força por unidade de comprimento” aplicada ao longo da barra. Como o enunciado diz que essa intensidade cresce linearmente de 0 até 9\\ \mathrm{kN/m} em 1{,}5\\ \mathrm{m}, escrevemos w(x)=\text{slope}\cdot x.

Passo 3

Como se obtém a força axial interna N(x) numa seção em x?
Método: faça o equilíbrio da porção da barra entre 0 e x (pega-se sempre um lado da seção). A força axial interna N(x) é igual (em módulo e com sinal apropriado) à soma algébrica das cargas externas aplicadas nessa porção (resultado da distribuída sobre [0,x] mais quaisquer cargas pontuais dentro de [0,x] e qualquer força concentrada na extremidade x=0).
Formalizando com convenções:
  • Seja N(x) a força interna na seção em x, positiva se for de tração no sentido positivo de x.
  • Denote por N_0 a força axial aplicada na extremidade x=0 (se existir); N_0 positiva para tração para a direita.
  • Denote por P_1,P_2 as magnitudes das duas cargas concentradas (com sinal positivo se atuarem para a direita) e por a_1,a_2 as suas posições ao longo do eixo x.
  • A contribuição da carga distribuída sobre [0,x] é o integral \displaystyle \int_{0}^{x} w(s)\,ds.
Então, pela soma das forças (algebricamente),
N(x)=N_0 - \int_{0}^{x} w(s)\,ds - \sum_{i=1}^{2} P_i\,H(x-a_i),
onde H(\cdot) é a função degrau de Heaviside (ou seja, H(x-a_i)=1 se x>a_i e 0 se x<a_i; para x=a_i usa-se a convenção que for necessário na análise da seção). Em palavras: N(x) é a força aplicada em x=0 menos a resultante da distribuída entre 0 e x e menos as cargas pontuais que estejam localizadas em [0,x].
Observação pedagógica: esse é o procedimento padrão em resistência dos materiais/estática para obter o diagrama de esforço normal axial: corta-se a barra e soma-se as forças externas no trecho considerado.

Passo 4

Calculemos explicitamente a integral da carregamento distribuído (a parte que sabemos numericamente):
\int_{0}^{x} w(s)\,ds=\int_{0}^{x} 6000\,s\,ds=6000\cdot\frac{x^{2}}{2}=3000\,x^{2}\quad\text{(em N).}
Comentário: note que o resultado tem unidade de força (N), pois integrando N/m sobre m dá N. Também, numericamente: para x em metros, \int_0^x w =3000 x^2 N.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão de N(x) obtemos a forma concreta (aqui deixo explícito o efeito das cargas pontuais e da força em x=0):
N(x)=N_0 - 3000\,x^{2} - \sum_{i=1}^{2} P_i\,H(x-a_i).
Interpretação:
  • Se nenhuma das cargas pontuais estiver entre 0 e x (isto é, se a_1>a e a_2>x), então os termos com P_i não entram e
N(x)=N_0 - 3000\,x^{2}.
  • Se uma ou ambas as cargas pontuais estiverem para a esquerda da seção ( a_i\le x), elas entram subtraídas (se orientadas para a esquerda no sinal adotado) conforme a soma acima.

Passo 6

Agora a tensão normal média \sigma(x) é a força interna dividida pela área:
\sigma(x)=\frac{N(x)}{A}.
Substituindo A=400\left(10^{-6}\right)\\ \mathrm{m}^{2} e a expressão de N(x):
\sigma(x)=\frac{N_0}{400\times10^{-6}}-\frac{3000\,x^{2}}{400\times10^{-6}}-\sum_{i=1}^{2}\frac{P_i}{400\times10^{-6}}\,H(x-a_i).
Podemos simplificar o coeficiente numérico:
\frac{3000}{400\times10^{-6}}=\frac{3000}{0{,}0004}=7{,}5\times10^{6}.
Logo uma forma mais limpa é
\boxed{\displaystyle \sigma(x)=\frac{N_0}{400\times10^{-6}}-7{,}5\times10^{6}\,x^{2}-\sum_{i=1}^{2}\frac{P_i}{400\times10^{-6}}\,H(x-a_i).}
Unidade: \sigma em Pa (N/m ^2), x em m, P_i em N, N_0 em N.

Passo 7

Casos especiais úteis (práticos) — para você aplicar rápido quando olhar a figura:
  1. Se na extremidade x=0 não há força axial concentrada, então N_0=0.
  2. Se nenhuma das cargas concentradas está em [0,0{,}6) (isto é, ambas são para a direita de 0{,}6\\ \mathrm{m}), então para 0\le x<0{,}6 temos simplesmente
\boxed{\displaystyle \sigma(x)=-7{,}5\times10^{6}\,x^{2}\\ \text{(Pa), \quad se }N_0=0\text{ e }a_1,a_2\ge0{,}6.}
Nesse caso o sinal negativo indica compressão (pela convenção que escolhemos para os sinais; troque o sinal se na figura as direções forem opostas).
Exemplo numérico rápido: usando a expressão acima, em x=0{,}6\\ \mathrm{m} (apenas para ver a ordem de grandeza),
\sigma(0{,}6)=-7{,}5\times10^{6}\times(0{,}6)^{2}=-7{,}5\times10^{6}\times0{,}36=-2{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão final sem as magnitudes e posições das duas cargas concentradas (a figura não foi enviada). A expressão geral para 0\le x<0{,}6\\ \mathrm{m} é:
\displaystyle \sigma(x)=\frac{N_0}{400\times10^{-6}}-7{,}5\times10^{6}\,x^{2}-\sum_{i=1}^{2}\frac{P_i}{400\times10^{-6}}\,H(x-a_i).
Caso especial (se N_0=0 e nenhuma carga concentrada estiver em [0,0{,}6)):
\displaystyle \sigma(x)=-7{,}5\times10^{6}\,x^{2}\\ \text{(Pa).}

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