*1-52. The bar has a cross-sectional area of
. If it is subjected to a triangular axial distributed loading along its length which is 0 at
and
at
, and to two concentrated loads as shown, determine the average normal stress in the bar as a function of
for
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (isto é o que temos explicitamente):
- A área da seção transversal é
. - Há uma carga axial distribuída ao longo do comprimento, triangular, que vale
em e em . - Existem duas cargas concentradas “como mostrado” no enunciado original — porém a figura que indicaria as magnitudes e as posições dessas duas cargas concentradas não foi enviada aqui.
O que o exercício pede:
- Determinar a tensão normal média na barra em função de
para .
Observação importante: como as magnitudes e/ou posições das duas cargas concentradas não foram fornecidas (a figura não foi enviada), não é possível obter uma expressão numérica única que inclua o efeito dessas cargas concentradas. Vou então:
- explicar o método correto e calcular a contribuição da carga distribuída (isto é determinístico a partir dos dados que temos) e
- dar a expressão geral da tensão incluindo símbolos para as cargas concentradas e para qualquer força concentrada aplicada na extremidade
. Assim você terá a fórmula pronta — basta substituir as magnitudes/posições que aparecem na figura do enunciado.
Passo 2
Vamos obter a expressão da intensidade da carga distribuída
.
A carga é linear (triangular) com
e
. A inclinação (coeficiente) é
Portanto, a função ao longo do eixo
é
Para trabalhar em unidades SI (N/m) multiplico por
:
Explicação didática rápida:
é a “força por unidade de comprimento” aplicada ao longo da barra. Como o enunciado diz que essa intensidade cresce linearmente de
até
em
, escrevemos
.
Passo 3
Como se obtém a força axial interna
numa seção em
?
Método: faça o equilíbrio da porção da barra entre
e
(pega-se sempre um lado da seção). A força axial interna
é igual (em módulo e com sinal apropriado) à soma algébrica das cargas externas aplicadas nessa porção (resultado da distribuída sobre
mais quaisquer cargas pontuais dentro de
e qualquer força concentrada na extremidade
).
Formalizando com convenções:
- Seja
a força interna na seção em , positiva se for de tração no sentido positivo de . - Denote por
a força axial aplicada na extremidade (se existir); positiva para tração para a direita. - Denote por
as magnitudes das duas cargas concentradas (com sinal positivo se atuarem para a direita) e por as suas posições ao longo do eixo . - A contribuição da carga distribuída sobre
é o integral .
Então, pela soma das forças (algebricamente),
onde
é a função degrau de Heaviside (ou seja,
se
e
se
; para
usa-se a convenção que for necessário na análise da seção). Em palavras:
é a força aplicada em
menos a resultante da distribuída entre
e
e menos as cargas pontuais que estejam localizadas em
.
Observação pedagógica: esse é o procedimento padrão em resistência dos materiais/estática para obter o diagrama de esforço normal axial: corta-se a barra e soma-se as forças externas no trecho considerado.
Passo 4
Calculemos explicitamente a integral da carregamento distribuído (a parte que sabemos numericamente):
Comentário: note que o resultado tem unidade de força (N), pois integrando N/m sobre m dá N. Também, numericamente: para
em metros,
N.
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão de
obtemos a forma concreta (aqui deixo explícito o efeito das cargas pontuais e da força em
):
Interpretação:
- Se nenhuma das cargas pontuais estiver entre
e (isto é, se e ), então os termos com não entram e
- Se uma ou ambas as cargas pontuais estiverem para a esquerda da seção (
), elas entram subtraídas (se orientadas para a esquerda no sinal adotado) conforme a soma acima.
Passo 6
Agora a tensão normal média
é a força interna dividida pela área:
Substituindo
e a expressão de
:
Podemos simplificar o coeficiente numérico:
Logo uma forma mais limpa é
Unidade:
em Pa (N/m
),
em m,
em N,
em N.
Passo 7
Casos especiais úteis (práticos) — para você aplicar rápido quando olhar a figura:
- Se na extremidade
não há força axial concentrada, então . - Se nenhuma das cargas concentradas está em
(isto é, ambas são para a direita de ), então para temos simplesmente
Nesse caso o sinal negativo indica compressão (pela convenção que escolhemos para os sinais; troque o sinal se na figura as direções forem opostas).
Exemplo numérico rápido: usando a expressão acima, em
(apenas para ver a ordem de grandeza),
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão final sem as magnitudes e posições das duas cargas concentradas (a figura não foi enviada). A expressão geral para
é:
Caso especial (se
e nenhuma carga concentrada estiver em
):