Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral x1+x^4 d x, faça u=x^2.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x1+x^4 dx usando o método de substituição. Para isso, vamos aplicar a substituição indicada: u = x^2. Precisamos entender como essa substituição simplifica a integral e quais elementos da teoria de integrais estão sendo utilizados.

Passo 2

Primeiro, definimos a substituição:
u = x^2
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2.

Passo 3

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x1 + x^4 dx = integral 11 + (x^2)^2 cdot x , dx = integral 11 + u^2 cdot du2
Simplificando, temos:
12 integral 11 + u^2 du

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral integral 11 + u^2 du é uma integral padrão cuja antiderivada é arctan(u). Portanto:
12 integral 11 + u^2 du = 12 arctan(u) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos u = x^2 de volta na expressão:
12 arctan(x^2) + C

Resposta

integral x1+x^4 dx = 12 arctan(x^2) + C

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