Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=10 \operatorname{sen}(t-2)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever a transformada de Fourier do sinal \,f(t)=10\operatorname{sen}(t-2)\,.
  • Fazer um programa Scilab para plotar tanto o sinal no tempo quanto a sua transformada (no sentido prático: representar os impulsos da transformada).
Informações dadas:
  • O sinal no tempo é \,f(t)=10\operatorname{sen}(t-2)\,.
  • Não há outras restrições (uso de convenção de transformada, etc.). Vou usar a convenção padrão com frequência angular \omega.

Passo 2

Definição e convenção que vou usar (essencial para a prova):
\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • \,f(t)\, é o sinal no tempo (função real de t).
  • \,F(\omega)\, é a transformada de Fourier em função da frequência angular \omega.
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
  • \,e^{-j\omega t}\, é o núcleo da transformada.
    Essa é a convenção mais usada em sinais e sistemas; se na sua prova usarem outra (por exemplo fatores 2\pi distribuídos), adapte a mesma ideia de cálculos abaixo.

Passo 3

Propriedades úteis que vamos usar (vou explicar cada uma):
  1. Transformada de uma exponencial complexa:
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\}=2\pi\,\delta(\omega-\omega_0).
O \delta é a função delta de Dirac: é nula para \omega\neq\omega_0 e “integra 1” em torno de \omega_0. Na prática isso significa que uma exponencial pura corresponde a um impulso no domínio da frequência localizado em \omega_0.
  1. Identidade seno → exponenciais:
\operatorname{sen}(\omega_0 t)=\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}.
Isso nos deixa trabalhar com exponenciais complexas (cujo transformada conhecemos).
  1. Linearidade:
    Se f(t)=a g(t) então \mathcal{F}\{f\}=a\mathcal{F}\{g\}.
  2. Propriedade de deslocamento no tempo (muito importante aqui):
    Se g(t)\leftrightarrow G(\omega), então
g(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}G(\omega).
Ou seja, deslocar em tempo multiplica a transformada por um fator de fase e^{-j\omega t_0}. Isso preserva a localização dos impulsos, apenas acrescenta fase dependente de \omega.

Passo 4

Transformada de \operatorname{sen}(t) (caso básico):
  • Usando a identidade exponencial com \omega_0=1:
\operatorname{sen}(t)=\frac{e^{jt}-e^{-jt}}{2j}.
  • Aplicando a transformada por linearidade e usando a regra da exponencial:
\mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{1}{2j}\left(2\pi\delta(\omega-1)-2\pi\delta(\omega+1)\right).
  • Simplificando:
\mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{\pi}{j}\big(\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\big).
Explicação: cada exponencial vira um impulso em \omega=\pm 1; a diferença e o fator 1/(2j) resultam na expressão acima.

Passo 5

Multiplicação por constante e deslocamento no tempo:
  • Nosso sinal é f(t)=10\operatorname{sen}(t-2).
  • Primeiro a multiplicação por 10 dá um fator 10 na transformada.
  • Depois, o deslocamento t_0=2 aplica um fator de fase e^{-j\omega 2} à transformada de \operatorname{sen}(t).
Assim, aplicando as propriedades:
F(\omega)=10\cdot e^{-j\omega 2}\cdot\frac{\pi}{j}\big(\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\big).

Passo 6

Interpretando e simplificando os termos com \delta:
Como \delta “seleciona” valores de \omega, podemos escrever explicitamente os coeficientes frontais dos impulsos em \omega=\pm 1:
  • Coeficiente do impulso em \omega=1:
\frac{10\pi}{j}\,e^{-j(1)2}=\frac{10\pi}{j}e^{-j2}.
  • Coeficiente do impulso em \omega=-1 (veja o sinal negativo dentro dos parênteses):
-\frac{10\pi}{j}\,e^{-j(-1)2}=-\frac{10\pi}{j}e^{j2}.
Portanto uma forma explícita:
F(\omega)=\frac{10\pi}{j}\,e^{-j2}\,\delta(\omega-1)\;-\;\frac{10\pi}{j}\,e^{j2}\,\delta(\omega+1).
Observação de simplificação: como 1/j=-j, outra forma é
F(\omega)=-10\pi j\big(e^{-j2}\delta(\omega-1)-e^{j2}\delta(\omega+1)\big),
mas ambas as formas são equivalentes — escolha a que achar mais clara na prova.

Passo 7

Tabela (pedido explícito: usar uma tabela) com domínio do tempo e domínio da frequência:
Sinal no tempo Transformada de Fourier F(\omega)
\,f(t)=10\operatorname{sen}(t-2)\, \displaystyle F(\omega)=\frac{10\pi}{j}\,e^{-j2}\,\delta(\omega-1)\;-\;\frac{10\pi}{j}\,e^{j2}\,\delta(\omega+1)
Explicação prática: a transformada consiste em dois impulsos localizados em \omega=\pm 1 com amplitudes complexas que carregam a fase introduzida pelo deslocamento temporal 2.

Passo 8

Como visualizar/plotar na prática (limitação): a transformada teórica é composta de deltas (impulsos infinitamente estreitos), que não são diretamente desenháveis num gráfico contínuo. Em implementações numéricas representamos cada \delta como uma “seta” (stem) ou um pico discreto com magnitude e fase dadas pelos coeficientes que calculamos. Vou dar um programa Scilab que:
  • plota f(t) no tempo (amostra contínua numérica),
  • plota as “impulsões” da transformada como pontos (stem) em \omega=-1 e \omega=1, mostrando magnitude e fase.
Código Scilab (copie e cole no Scilab; comentários em português):
// Plot do sinal no tempo e representação prática da sua TF (impulsos)
clear; clc;

// 1) sinal no tempo
t = linspace(-10, 10, 2000); // vetor de tempo
f = 10*sin(t - 2);           // f(t) = 10 sen(t-2)

// 2) calcular pesos dos impulsos da TF (usando a expressão teórica)
w_pos = 10*%pi/%i * exp(-%i*2);      // coeficiente em omega = +1
w_neg = -10*%pi/%i * exp(%i*2);      // coeficiente em omega = -1
// Observe: %i é a unidade imaginária em Scilab, %pi é pi

// 3) plote o sinal no tempo
figure(1);
plot(t, f);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("Sinal no tempo: f(t) = 10 sin(t-2)");
xgrid();

// 4) plote a transformada (representação por impulsos)
// Vamos mostrar magnitude e fase em subplots
omega = [-1, 1];
weights = [w_neg, w_pos]; // correspondente a omega = -1 e omega = +1

// Magnitude (stem)
figure(2);
subplot(2,1,1);
stem(omega, abs(weights), 'Marker','o');
xtitle("Magnitude da transformada (impulsos)", "omega", "|F(omega)|");
xgrid();

// Fase (stem)
subplot(2,1,2);
phase = atan2(imag(weights), real(weights)); // fase em radianos
stem(omega, phase, 'Marker','o');
xtitle("Fase da transformada (impulsos)", "omega", "arg(F(omega)) [rad]");
xgrid();

// Opcional: mostrar valores numéricos dos pesos
disp("Coeficientes dos impulsos:");
disp("omega = -1 :");
disp(weights(1));
disp("omega = +1 :");
disp(weights(2));
Breve explicação do código:
  • Amostrei o tempo entre -10 e 10 para desenhar f(t).
  • Os coeficientes dos impulsos são calculados diretamente da expressão teórica (usei %pi e %i do Scilab).
  • Para a transformada, usei stem para desenhar duas “setas” em \omega=-1 e \omega=1; uma plotagem mostra magnitude, outra mostra fase (em radianos).
  • O comando disp imprime no console os coeficientes complexos, úteis para verificar amplitude e fase numérica.

Resposta

\displaystyle F(\omega)=\frac{10\pi}{j}\,e^{-j2}\,\delta(\omega-1)\;-\;\frac{10\pi}{j}\,e^{j2}\,\delta(\omega+1)
Programa Scilab:
// Plot do sinal no tempo e representação prática da sua TF (impulsos)
clear; clc;

// 1) sinal no tempo
t = linspace(-10, 10, 2000); // vetor de tempo
f = 10*sin(t - 2);           // f(t) = 10 sen(t-2)

// 2) calcular pesos dos impulsos da TF (usando a expressão teórica)
w_pos = 10*%pi/%i * exp(-%i*2);      // coeficiente em omega = +1
w_neg = -10*%pi/%i * exp(%i*2);      // coeficiente em omega = -1

// 3) plote o sinal no tempo
figure(1);
plot(t, f);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("Sinal no tempo: f(t) = 10 sin(t-2)");
xgrid();

// 4) plote a transformada (representação por impulsos)
omega = [-1, 1];
weights = [w_neg, w_pos]; // correspondente a omega = -1 e omega = +1

figure(2);
subplot(2,1,1);
stem(omega, abs(weights), 'Marker','o');
xtitle("Magnitude da transformada (impulsos)", "omega", "|F(omega)|");
xgrid();

subplot(2,1,2);
phase = atan2(imag(weights), real(weights)); // fase em radianos
stem(omega, phase, 'Marker','o');
xtitle("Fase da transformada (impulsos)", "omega", "arg(F(omega)) [rad]");
xgrid();

disp("Coeficientes dos impulsos:");
disp("omega = -1 :");
disp(weights(1));
disp("omega = +1 :");
disp(weights(2));

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