Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=10 \operatorname{sen}(2(t-1))

Passo 1

Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda):
  • O enunciado pede que eu escreva, usando uma tabela, a transformada de Fourier do sinal f(t)=10\operatorname{sen}(2(t-1)).
  • Também pede um programa Scilab para plotar tanto o sinal f(t) quanto a sua transformada de Fourier.
  • Informações explícitas do enunciado: amplitude igual a 10; a função trigonométrica é seno; o argumento do seno é 2(t-1), isto é, há um deslocamento no tempo de +1 segundo e uma frequência angular de 2 rad/s.
  • Não há outras condições (como janela ou causalidade) dadas — assumimos a transformada de Fourier clássica no sentido de distribuições (com deltas para componentes espectrais puros).

Passo 2

Definição importante e propriedades que vou usar (explicadas de forma bem didática):
  • Definição da transformada de Fourier (convenção que vou usar):
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui t é a variável de tempo, \omega é a frequência angular (em rad/s), e j é a unidade imaginária (no Brasil normalmente escrevemos j em sinais elétricos, mas é o mesmo que i).
  • Propriedade da linearidade: a transformada é linear, ou seja, \mathcal{F}\{a f(t)+b g(t)\} = aF(\omega)+bG(\omega). Isso permite tratar coeficientes (como 10) fora da integral.
  • Transformada do exponencial complexo:
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\} = 2\pi\,\delta(\omega-\omega_0),
onde \delta(\cdot) é a delta de Dirac (impulso) — isso é crucial porque funções harmônicas puras geram deltas no domínio da frequência.
  • Representação do seno em termos de exponenciais complexas (fórmula muito usada):
\sin(\omega_0 t)=\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}.
Essa fórmula nos permite usar a transformada do exponencial para obter a transformada do seno.
  • Propriedade de deslocamento no tempo (time shift): se g(t)=h(t-t_0) então
G(\omega)=H(\omega)\,e^{-j\omega t_0}.
Isto é, um deslocamento para a direita no tempo gera um fator de fase multiplicativo no domínio da frequência.
  • Observação sobre interpretação: como f(t) é um seno puro deslocado, sua transformada será uma combinação de deltas localizados nas frequências \omega=\pm 2, possivelmente com fatores complexos (amplitude e fase) devido ao deslocamento no tempo.

Passo 3

Calcular a transformada do seno não deslocado (etapa intermediária):
  • Considere h(t)=10\sin(2t). Vou obter H(\omega)=\mathcal{F}\{h(t)\}.
  • Usando a decomposição exponencial:
\sin(2t)=\frac{e^{j2t}-e^{-j2t}}{2j}.
Multiplicando por 10 temos
h(t)=10\sin(2t)=\frac{10}{2j}\big(e^{j2t}-e^{-j2t}\big)=\frac{5}{j}\big(e^{j2t}-e^{-j2t}\big).
  • Agora uso a transformada do exponencial: \mathcal{F}\{e^{j2t}\}=2\pi\delta(\omega-2) e \mathcal{F}\{e^{-j2t}\}=2\pi\delta(\omega+2). Aplicando linearidade:
H(\omega)=\frac{5}{j}\big(2\pi\delta(\omega-2)-2\pi\delta(\omega+2)\big).
  • Simplificando o fator 2\pi:
H(\omega)=\frac{10\pi}{j}\big(\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\big).
  • Lembrando que \frac{1}{j}=-j, uma forma equivalente (às vezes mais compacta) é:
H(\omega)=-10j\pi\big(\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\big).
Ambas as formas são corretas e equivalentes; a segunda já põe o j em numerador, deixando claro que há um deslocamento de fase relativo entre as duas deltas.

Passo 4

Aplicar a propriedade de deslocamento no tempo (já que f(t)=h(t-1)):
  • Nosso sinal original é f(t)=10\sin(2(t-1)). Podemos entender f(t)=h(t-1) com h(t)=10\sin(2t). Pelo passo anterior já obtivemos H(\omega).
  • Pela propriedade de deslocamento:
F(\omega)=H(\omega)\,e^{-j\omega\cdot 1}=H(\omega)\,e^{-j\omega}.
  • Substituindo a expressão de H(\omega) (na forma com -10j\pi):
F(\omega)=-10j\pi\big(\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\big)e^{-j\omega}.
  • Podemos simplificar o produto com deltas usando a propriedade \delta(\omega-\omega_0)\,g(\omega)=g(\omega_0)\,\delta(\omega-\omega_0). Isso significa que o fator e^{-j\omega} será avaliado em \omega=2 ou \omega=-2 nas respectivas deltas. Fazendo isso:
F(\omega)=-10j\pi\big(e^{-j2}\,\delta(\omega-2)-e^{j2}\,\delta(\omega+2)\big).
  • Podemos reorganizar sinais para uma forma talvez mais simétrica:
F(\omega)=10j\pi\big(e^{j2}\,\delta(\omega+2)-e^{-j2}\,\delta(\omega-2)\big).
Ambas as formas representam a mesma transformada; a escolha entre elas é questão de estilo.

Passo 5

Interpretação dos coeficientes (magnitude e fase das deltas) — ajudando a visualizar o que os deltas carregam:
  • Coeficiente em \omega=2: C_{+} = -10j\pi e^{-j2}. Podemos expressar em forma módulo-fase: -j = e^{-j\pi/2}, logo
C_{+}=10\pi e^{-j\left(2+\frac{\pi}{2}\right)}.
Portanto magnitude |C_{+}|=10\pi e fase \angle C_{+} = -(2+\tfrac{\pi}{2}) (radianos).
  • Coeficiente em \omega=-2: C_{-} = +10j\pi e^{j2}. Escrevendo j=e^{j\pi/2}, temos
C_{-}=10\pi e^{j\left(2+\frac{\pi}{2}\right)}.
Então |C_{-}|=10\pi e \angle C_{-}=2+\tfrac{\pi}{2}.
  • Conclusão intuitiva: existem dois impulsos em \omega=\pm 2 com a mesma magnitude 10\pi e fases opostas (simétricas), resultado do fato do sinal no tempo ser real e ser um seno deslocado.

Passo 6

Tabela pedida (uso de tabela para expor sinal e transformada):
Sinal f(t) Transformada F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}
f(t)=10\operatorname{sen}(2(t-1)) \displaystyle F(\omega)=-10j\pi\big(e^{-j2}\,\delta(\omega-2)-e^{j2}\,\delta(\omega+2)\big)
Observação: expressão equivalentes possíveis (para escolha de apresentação):
F(\omega)=\frac{10\pi}{j}\big(e^{-j2}\,\delta(\omega-2)-e^{j2}\,\delta(\omega+2)\big)
ou
F(\omega)=10j\pi\big(e^{j2}\,\delta(\omega+2)-e^{-j2}\,\delta(\omega-2)\big).

Passo 7

Programa Scilab para plotar o sinal no tempo e uma aproximação gráfica da transformada (como deltas): explico antes do código como o estou aproximando para plotar:
  • A transformada tem deltas em \omega=\pm 2 com coeficientes complexos calculados no Passo 5. Em um plot numérico não conseguimos desenhar deltas verdadeiros, então representamos os impulsos por marcas (varetas) em \omega=\pm 2 e mostramos tanto a magnitude quanto a fase desses coeficientes.
  • O código abaixo gera: (i) o gráfico de f(t) no tempo; (ii) um gráfico com barras verticais (stem) mostrando |F(\omega)| em \omega=-2 e \omega=2; (iii) um gráfico da fase \angle F(\omega) nesses mesmos pontos. Use este código no Scilab (copie e cole no console do Scilab).
Código Scilab (copiar/colar no Scilab):
// Plot do sinal f(t)=10*sin(2*(t-1)) e representação da sua TF (como deltas em w=+-2)

// 1) sinal no tempo
clf();
t = -1:0.001:3; // vetor de tempo
f = 10*sin(2*(t-1));
subplot(3,1,1);
plot(t,f);
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=10*sin(2*(t-1))','t','f(t)');
xgrid();

// 2) calcular os coeficientes dos deltas a partir da expressão analítica
// Coeficiente em w=2: C_plus = -10*j*pi*exp(-j*2)
// Coeficiente em w=-2: C_minus = 10*j*pi*exp(j*2)
C_plus  = -10*%i*%pi*exp(-%i*2);
C_minus =  10*%i*%pi*exp(%i*2);
w = [-2 2];
C = [C_minus C_plus]; // correspondente a w = [-2, 2]

// 3) plot da magnitude dos impulsos
subplot(3,1,2);
stem(w, abs\text{(C)}, 'filled');
xtitle('Magnitude da TF (impulsos)','\omega','|F(\omega)|');
xgrid();

// 4) plot da fase dos impulsos
phaseC = atan2(imag\text{(C)}, real\text{(C)}); // fase em radianos
subplot(3,1,3);
stem(w, phaseC, 'filled');
xtitle('Fase da TF nos impulsos','\omega','arg(F(\omega)) [rad]');
xgrid();

// Exibir valores numéricos para conferência
disp('Valores dos coeficientes (complexos) e suas magnitudes/fases:');
for k=1:2
    m = abs(C(k));
    p = phaseC(k);
    printf('w = %g : C = %g + j%g ; |C| = %g ; arg = %g rad\n', w(k), real(C(k)), imag(C(k)), m, p);
end

Resposta

F(\omega)=-10j\pi\big(e^{-j2}\,\delta(\omega-2)-e^{j2}\,\delta(\omega+2)\big)
// Programa Scilab para plotar f(t) e representar a TF por impulsos
clf();
t = -1:0.001:3;
f = 10*sin(2*(t-1));
subplot(3,1,1);
plot(t,f);
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=10*sin(2*(t-1))','t','f(t)');
xgrid();
C_plus  = -10*%i*%pi*exp(-%i*2);
C_minus =  10*%i*%pi*exp(%i*2);
w = [-2 2];
C = [C_minus C_plus];
subplot(3,1,2);
stem(w, abs\text{(C)}, 'filled');
xtitle('Magnitude da TF (impulsos)','\omega','|F(\omega)|');
xgrid();
phaseC = atan2(imag\text{(C)}, real\text{(C)});
subplot(3,1,3);
stem(w, phaseC, 'filled');
xtitle('Fase da TF nos impulsos','\omega','arg(F(\omega)) [rad]');
xgrid();
disp('Valores dos coeficientes (complexos) e suas magnitudes/fases:');
for k=1:2
    m = abs(C(k));
    p = phaseC(k);
    printf('w = %g : C = %g + j%g ; |C| = %g ; arg = %g rad\n', w(k), real(C(k)), imag(C(k)), m, p);
end

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