Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
Passo 1
Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda):
- O enunciado pede que eu escreva, usando uma tabela, a transformada de Fourier do sinal
. - Também pede um programa Scilab para plotar tanto o sinal
quanto a sua transformada de Fourier. - Informações explícitas do enunciado: amplitude igual a
; a função trigonométrica é seno; o argumento do seno é , isto é, há um deslocamento no tempo de segundo e uma frequência angular de rad/s. - Não há outras condições (como janela ou causalidade) dadas — assumimos a transformada de Fourier clássica no sentido de distribuições (com deltas para componentes espectrais puros).
Passo 2
Definição importante e propriedades que vou usar (explicadas de forma bem didática):
- Definição da transformada de Fourier (convenção que vou usar):
Aqui
é a variável de tempo,
é a frequência angular (em rad/s), e
é a unidade imaginária (no Brasil normalmente escrevemos
em sinais elétricos, mas é o mesmo que
).
- Propriedade da linearidade: a transformada é linear, ou seja,
. Isso permite tratar coeficientes (como 10) fora da integral. - Transformada do exponencial complexo:
onde
é a delta de Dirac (impulso) — isso é crucial porque funções harmônicas puras geram deltas no domínio da frequência.
- Representação do seno em termos de exponenciais complexas (fórmula muito usada):
Essa fórmula nos permite usar a transformada do exponencial para obter a transformada do seno.
- Propriedade de deslocamento no tempo (time shift): se
então
Isto é, um deslocamento para a direita no tempo gera um fator de fase multiplicativo no domínio da frequência.
- Observação sobre interpretação: como
é um seno puro deslocado, sua transformada será uma combinação de deltas localizados nas frequências , possivelmente com fatores complexos (amplitude e fase) devido ao deslocamento no tempo.
Passo 3
Calcular a transformada do seno não deslocado (etapa intermediária):
- Considere
. Vou obter . - Usando a decomposição exponencial:
Multiplicando por
temos
- Agora uso a transformada do exponencial:
e . Aplicando linearidade:
- Simplificando o fator
:
- Lembrando que
, uma forma equivalente (às vezes mais compacta) é:
Ambas as formas são corretas e equivalentes; a segunda já põe o
em numerador, deixando claro que há um deslocamento de fase relativo entre as duas deltas.
Passo 4
Aplicar a propriedade de deslocamento no tempo (já que
):
- Nosso sinal original é
. Podemos entender com . Pelo passo anterior já obtivemos . - Pela propriedade de deslocamento:
- Substituindo a expressão de
(na forma com ):
- Podemos simplificar o produto com deltas usando a propriedade
. Isso significa que o fator será avaliado em ou nas respectivas deltas. Fazendo isso:
- Podemos reorganizar sinais para uma forma talvez mais simétrica:
Ambas as formas representam a mesma transformada; a escolha entre elas é questão de estilo.
Passo 5
Interpretação dos coeficientes (magnitude e fase das deltas) — ajudando a visualizar o que os deltas carregam:
- Coeficiente em
: . Podemos expressar em forma módulo-fase: , logo
Portanto magnitude
e fase
(radianos).
- Coeficiente em
: . Escrevendo , temos
Então
e
.
- Conclusão intuitiva: existem dois impulsos em
com a mesma magnitude e fases opostas (simétricas), resultado do fato do sinal no tempo ser real e ser um seno deslocado.
Passo 6
Tabela pedida (uso de tabela para expor sinal e transformada):
| Sinal
|
Transformada
|
|---|---|
|
|
|
Observação: expressão equivalentes possíveis (para escolha de apresentação):
ou
Passo 7
Programa Scilab para plotar o sinal no tempo e uma aproximação gráfica da transformada (como deltas): explico antes do código como o estou aproximando para plotar:
- A transformada tem deltas em
com coeficientes complexos calculados no Passo 5. Em um plot numérico não conseguimos desenhar deltas verdadeiros, então representamos os impulsos por marcas (varetas) em e mostramos tanto a magnitude quanto a fase desses coeficientes. - O código abaixo gera: (i) o gráfico de
no tempo; (ii) um gráfico com barras verticais (stem) mostrando em e ; (iii) um gráfico da fase nesses mesmos pontos. Use este código no Scilab (copie e cole no console do Scilab).
Código Scilab (copiar/colar no Scilab):
// Plot do sinal f(t)=10*sin(2*(t-1)) e representação da sua TF (como deltas em w=+-2)
// 1) sinal no tempo
clf();
t = -1:0.001:3; // vetor de tempo
f = 10*sin(2*(t-1));
subplot(3,1,1);
plot(t,f);
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=10*sin(2*(t-1))','t','f(t)');
xgrid();
// 2) calcular os coeficientes dos deltas a partir da expressão analítica
// Coeficiente em w=2: C_plus = -10*j*pi*exp(-j*2)
// Coeficiente em w=-2: C_minus = 10*j*pi*exp(j*2)
C_plus = -10*%i*%pi*exp(-%i*2);
C_minus = 10*%i*%pi*exp(%i*2);
w = [-2 2];
C = [C_minus C_plus]; // correspondente a w = [-2, 2]
// 3) plot da magnitude dos impulsos
subplot(3,1,2);
stem(w, abs\text{(C)}, 'filled');
xtitle('Magnitude da TF (impulsos)','\omega','|F(\omega)|');
xgrid();
// 4) plot da fase dos impulsos
phaseC = atan2(imag\text{(C)}, real\text{(C)}); // fase em radianos
subplot(3,1,3);
stem(w, phaseC, 'filled');
xtitle('Fase da TF nos impulsos','\omega','arg(F(\omega)) [rad]');
xgrid();
// Exibir valores numéricos para conferência
disp('Valores dos coeficientes (complexos) e suas magnitudes/fases:');
for k=1:2
m = abs(C(k));
p = phaseC(k);
printf('w = %g : C = %g + j%g ; |C| = %g ; arg = %g rad\n', w(k), real(C(k)), imag(C(k)), m, p);
end
Resposta
// Programa Scilab para plotar f(t) e representar a TF por impulsos
clf();
t = -1:0.001:3;
f = 10*sin(2*(t-1));
subplot(3,1,1);
plot(t,f);
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=10*sin(2*(t-1))','t','f(t)');
xgrid();
C_plus = -10*%i*%pi*exp(-%i*2);
C_minus = 10*%i*%pi*exp(%i*2);
w = [-2 2];
C = [C_minus C_plus];
subplot(3,1,2);
stem(w, abs\text{(C)}, 'filled');
xtitle('Magnitude da TF (impulsos)','\omega','|F(\omega)|');
xgrid();
phaseC = atan2(imag\text{(C)}, real\text{(C)});
subplot(3,1,3);
stem(w, phaseC, 'filled');
xtitle('Fase da TF nos impulsos','\omega','arg(F(\omega)) [rad]');
xgrid();
disp('Valores dos coeficientes (complexos) e suas magnitudes/fases:');
for k=1:2
m = abs(C(k));
p = phaseC(k);
printf('w = %g : C = %g + j%g ; |C| = %g ; arg = %g rad\n', w(k), real(C(k)), imag(C(k)), m, p);
end